高2 数学 ベクトル 内積a↑・b↑ 求め方

質問

△OABがある。辺OA,OBの中点をそれぞれM,Nとし,辺ABを1:2に内分する点をCとする。
また,線分BMと線分CNの交点をPとし,OA↑=a↑,OB↑=b↑する。

直線OPと辺ABの交点をQとするとき,OQ↑をa↑、b↑を用いて表せ。また,|a|=3、|b|=2、|NQ↑|=4分の5(4/5)であるとき、
内積a↑・b↑値を求めよ。

計算したところ、
OQ↑=3/1a↑+3/2b↑になりました
合ってるか不安です(><)

内積a↑・b↑値はわかりません
教えてください、、

図とか汚いんですけど、、
写真に(1)~(3)の問題のせてます。今回(3)がわかりません
お願いします┏●

回答No.1

muturajcp · ベストアンサー

MはOAの中点だから
↑OM=(1/2)↑OA
↓↑OA=↑aだから
↑OM=(1/2)↑a…(1)
NはOBの中点だから
↑ON=(1/2)↑OB
↓↑OB=↑bだから
↑ON=(1/2)↑b…(2)
CはABを1:2に内分する点だから
↑OC=(2/3)↑OA+(1/3)↑OB
↓↑OA=↑a,↑OB=↑bだから
↑OC=(2/3)↑a+(1/3)↑b…(3)

PはBM上の点だから
↑OP=(1-x)↑OB+x↑OM
となる実数xがある
↓これに(1)を代入すると
↑OP=(1-x)↑OB+(x/2)↑a
↓↑OB=↑bだから
↑OP=(1-x)↑b+(x/2)↑a
↑OP=(x/2)↑a+(1-x)↑b…(4)

PはCN上の点だから
↑OP=y↑OC+(1-y)↑ON
となる実数yがある
↓これに(3),(2)を代入すると
↑OP=y{(2/3)↑a+(1/3)↑b}+{(1-y)/2}↑b
↑OP=(2y/3)↑a+{y/3+(1-y)/2}↑b
↑OP=(2y/3)↑a+{(3-y)/6}↑b
↓これと(4)から
(x/2)↑a+(1-x)↑b=(2y/3)↑a+{(3-y)/6}↑b
↑a,↑bは線形独立だから
↑aの係数が等しいから
x/2=2y/3
↓両辺に6をかけると
3x=4y…(5)

↑bの係数が等しいから
1-x=(3-y)/6
↓両辺に6をかけると
6(1-x)=3-y
6-6x=3-y
↓両辺にy+6x-6を加えると
y=6x-3
↓これを(5)に代入すると
3x=4(6x-3)
3x=24x-12
↓両辺に12-3xを加えると
12=21x
↓両辺を21で割ると
4/7=x
↓これを(4)に代入すると
↑OP=(2/7)↑a+(3/7)↑b…(6)

QはOP上の点だから
↑OQ=s↑OP
となる実数sがある
↓これに(6)を代入すると
↑OQ=(2s/7)↑a+(3s/7)↑b…(7)
QはAB上の点だから
↑OQ=(1-t)↑OA+t↑OB
となる実数tがある
↓↑OA=↑a,↑OB=↑bだから
↑OQ=(1-t)↑a+t↑b
↓これと(7)から
(2s/7)↑a+(3s/7)↑b=(1-t)↑a+t↑b
↑a,↑bは線形独立だから
↑aの係数が等しいから
1-t=2s/7
↓両辺に7をかけると
7-7t=2s…(8)

↑bの係数が等しいから
t=3s/7
↓両辺に7をかけると
7t=3s
↓これを(8)に代入すると
7-3s=2s
↓両辺に3sを加えると
7=5s
↓両辺に5をかけると
7/5=s
↓これを(7)に代入すると
∴
↑OQ=(2/5)↑a+(3/5)↑b…(9)

↑NQ=↑OQ-↑ON
↓これに(9),(2)を代入すると
↑NQ=(2/5)↑a+(3/5)↑b-(1/2)↑b
↑NQ=(2/5)↑a+(1/10)↑b
↓両辺の絶対値の2乗をとると
|NQ|^2=|(2/5)↑a+(1/10)↑b|^2
|NQ|^2=(4/25)|a|^2+(2/25)(↑a,↑b)+(1/100)|b|^2
↓|NQ|=5/4,|a|=3,|b|=2だから
25/16=(36/25)+(2/25)(↑a,↑b)+(1/25)
25/16=(37/25)+(2/25)(↑a,↑b)
↓両辺から37/25を引くと
25/16-37/25=(2/25)(↑a,↑b)
33/400=(2/25)(↑a,↑b)
↓両辺に25/2をかけると
33/32=(↑a,↑b)
∴
(↑a,↑b)=33/32

お礼

お礼コメントし忘れていました、
とても丁寧に解説してくださりありがとうございます！
参考にします！
ありがとうございました