数学がわかりません

質問

ベクトルの質問です
平面上に△OABがあり、OAベクトル＝aベクトル、 OBベクトル＝bベクトルとする。辺OAの中点をC,辺OBを１：２に内分する点をD,辺ABを３：１に内分する点をEとする。また、線分CE上に点ｐをとり、 CP：PE＝ｓ：（１－ｓ）（sは実数）とする。
(1)OPベクトルをaベクトルとｂベクトルを用いてあらわせ
(2)点Pが線分CEとADの交点であるとき、OPベクトルをaベクトル、ｂベクトルを用いてあらわせ。
(3) (2)のとき、OA=4,OB=3,∠AOB＝６０°とし、直線OPと辺ABの交点をQとする。点Qから直線OAに垂線をひき、交点をRとする。ORベクトルをaベクトルを用いてあらわせ。
過程もおねがいします＞＜

回答No.1

noname#224896 · ベストアンサー

以下，簡略化の為，（ベクトルOP）＝↑OPというように表します．
----------------------------------------------------
【１】まず，OPは，どのようなベクトルかを分解して考えます．

↑OP＝s↑AE＋(1-s)↑AC　．．．(1)
と表せる．

↑AE＝↑OA＋3/4↑AB
↑AE＝↑OA + 3/4(↑OB - ↑OA)．．．(2)

↑AC＝↑OC - ↑OA
↑AC＝ -1/2↑OA (∵↑OC＝1/2↑OA）．．．(3)

(1)，(2)，(3)より，
↑OP＝s｛↑OA + 3/4(↑OB - ↑OA)｝＋(1-s)｛ -1/2↑OA｝
↑OP＝(s-3/2-1/2+1/2s)↑OA + 3/4s↑OB
∴↑OP＝{(3/2)s-2}↑a + 3/4s↑b　．．．（解答）

----------------------------------------------------
【２】
線分AD上をt:(1-t) に内分する点をZとおくと，
（ただし，0< ｔ <1）
↑OZ = (1-t)↑OA + t↑OD
↑OZ = (1-t)↑OA + t/3↑OB
↑OZ = (1-t)↑a + t/3↑b　．．．(4)
　（１）より，∴↑OP＝{(3/2)s-2}↑a + (3/4)s↑b．．．(5)
(4)＝(5)　即ち，
↑OP＝↑OZより，
{(3/2)s-2}↑a + 3/4s↑b＝(1-t)↑a + t/3↑b

平行でない２つのベクトル↑a ，↑bによって同じ点が表される一意性を利用して，
（平行でない２つのベクトル↑a ，↑bによって同じ点が表されるのは１通りしかない．）

(3/2)s-2 = 1-t ．．．(6)
(3/4)s = t/3　．．．(7)
(7)より，(3/2)s=2t/3
これを(6)に代入すると，
2t/3 - 2 = 1 - t
5t/3 = 3 ∴t = 9/5
（ちなみに，これと，(7)より，s=4t/9=4/5）
これを(4)に代入すると，
↑OP =↑OZ = (-4/5)↑a + 3/5↑b
∴点Pが線分CEとADの交点であるとき，
↑OP = (-4/5)↑a + 3/5↑b　.．．．（解答）

----------------------------------------------------
【３】
点Qが，
線分ABを k ： (1-k)に内分するように，
実数 k （0< k <1）を おくと，
∠AQR = 60°，∠ARQ＝９０°より，
↑RA＝(k/2)↑OAと表せる．
つまり，↑OR＝（1 - k/2）↑OA　．．．(8)

↑OQ = (1-k)↑OA + k↑OB
↑OQ = (1-k)↑a + k↑b ．．．(9)

実数m(m>１)を用いると，
↑OQ = m↑OP
即ち，
↑OQ ={(3/2)s-2}m↑a + (3/4)sm↑b　．．．(10)

平行でないベクトル↑a，↑bによって，
同じ点を表すのは１通りしかない為，
(9)＝(10)より，
1-k = {(3/2)s-2}m
k = (3/4)sm

∴ m=1/{(9/4)s-4}

これを，(8)に代入すると，

↑OR={(5s-4)/(8s-4)}↑a　．．．（解答）
----------------------------------------------------
以上です．頑張って下さいね＾＾