ベクトル

質問

平行四辺形OABCの辺OAを2：1に内分する点をD、対角線OBを2：5に内分する点をE、
辺OCの中点をFとする。

(1)三点D,E,Fは一直線上にあることを示せ

DF→=kDE→がヒントになっているのですがわかりません。
この問題の解き方を教えてください。

回答No.1

suko22 · ベストアンサー

点Ｏを位置ベクトルの始点とする。

辺ＯＡを2：1に内分する点がＤだから、
ＯＤ→＝2/3ＯＡ→・・・※1

辺ＯＣを1：1に内分する点がＦだから、
ＯＦ→＝1/2ＯＣ→・・・※2

四角形ＯＡＢＣは平行四辺形であるから、ベクトルの足し算の性質より
ＯＢ→＝ＯＡ→＋ＯＣ→・・・※3

辺ＯＢを2：5に内分する点がＥであるから、
ＯＥ→＝2/7ＯＢ→　　これに※3を代入
　　　＝2/7ＯＡ→＋2/7ＯＣ→・・・※4

ここで、
ＤＥ→＝ＯＥ→－ＯＤ→
　　　＝2/7ＯＡ→＋2/7ＯＣ→－2/3ＯＡ→　（∵※4と※1を代入）
　　　＝-8/21ＯＡ→＋2/7ＯＣ→・・・※5

ＤＦ→＝ＯＦ→－ＯＤ→
　　　＝1/2ＯＣ→－2/3ＯＡ→　（∵※1と※2を代入）
　　　＝-2/3ＯＡ→＋1/2ＯＣ→・・・※6

※5と※6を比較。
ＤＦ→がＤＥ→の何倍になっているかを調べる。
------------------
ＯＡ→の係数を比較
-8/21ｔ＝-2/3
ｔ＝（-2/3）*（-21/8）＝4/7

ＯＣの係数を比較
2/7ｔ’＝1/2
ｔ’＝1/2*7/2＝7/4

よって、
ＤＦ→＝7/4ＤＥ→
-----------------
点線部分は計算用紙にやればいいです。答案に書く必要はありません。

ゆえに点Ｄ，Ｅ，Ｆは一直線上にある。
（補足：ＤＦ→とＤＥ→は式の形より平行であることがわかる。また始点が点Ｄで共通だから、ＤＦ→とＤＥ→は重なる。よって結論がいえる）

解答方針：まず図を描いてください。図を見ながらたんたんを式を立てていけばいいです。
方針は位置ベクトルの始点をまずきめる。この問題では点Ｏを始点に取ります。
Ｄ，Ｅ，Ｆが一直線上ということはＤＦ→＝ｋＤＥ→が成り立つことを示せばよい。
ＤＦ→＝ＯＦ→－ＯＤ→＝・・・
ＤＥ→＝ＯＥ→－ＯＤ→＝・・・
という感じで表し，最終的にＤＦ→＝○ＤＥ→がいえればＯＫ。

お礼

ありがとうございます。

他の問題もこのやり方でやってみたいと思います。

回答No.2

178-tall

>平行四辺形OABCの辺OAを2：1に内分する点をD、対角線OBを2：5に内分する点をE、辺OCの中点をFとする。
>(1)三点D,E,Fは一直線上にあることを示せ

事務的にいきそうな、「二点 D, F を結ぶ直線が対角線 OB を内分する比」を勘定してみる。

点 O を起点として、ベクトル OA ならベクトル a 、などと略記する。
DF 間のベクトル e は、0≦k≦1 として、
　e = (2/3)*a + k*{(1/2)*c - (2/3)*a}
　　= (2/3)(1-k)*a + (k/2)*c　　　…(*)

ベクトル e が ベクトル b = a+c のスカラー倍 s になるのは、
　e = s*(a+c)　　　　　…(**)

(*) と (**) を連立させて (平行四辺形がペチャンコでなければ)
　(2/3)(1-k) = (k/2) = s
　k = 4/7
　s = 2/7 (2：5 に内分)

…てな調子 (やや、斜め進み気味)。