正四面体におけるベクトルの問題

質問

1辺の長さが1の正四面体OABCにおいて、辺ACを1:2に内分する点をD、辺BCの中点をEとする。
線分OD,OE上にそれぞれ点P,Qをとり、PQ//平面OAB、△OPQ=1/2△ODEを満たすようにし、↑OA=↑a,↑OB=↑b,↑OC=↑cとする。
(1)↑OP,↑OQをそれぞれ↑a,↑b,↑cで表せ
(2)点Qから平面OABに下ろした垂線の長さを求めよ

(1)からさっぱり手がつきません。どちらかでもいいので回答お願いします。

回答No.1

nag0720 · ベストアンサー

解法の方針だけ。

ベクトル記号↑を省略して書きます。

(1)
OP=tOD、OQ=sOE　と置く。

△OABの中心をRとすると、
CRは平面OABと垂直なので、
PQ・CR=(sOE-tOD)・CR=0

CR,OD,OEを、a,b,cで表して、
a・a=b・b=c・c=1
a・b=a・c=b・c=√3/2
を利用すると、この式はt,sに関しての一次式になる。

また、
△ODE=|OD||OE|sin(∠DOE)
△OPQ=|OP||OQ|sin(∠DOE)=ts|OD||OE|sin(∠DOE)
なので、
ts=1/2

以上からt,sを求めることができる。

(2)
点Qから平面OABに下ろした垂線の足をSとすると、
QS=OS-OQ=uOA+vOB-OQ=wCR
これらのベクトルをa,b,cで表わせば、u,v,wが決まる。

|QS|=w√(CR・CR)

お礼

無事(1)(2)ともに解けました。
ありがとうございます。

回答No.2

banakona

（２）の別解。空間座標に正四面体OABCを置いてしまう。

１．△ＯＡＢがｘｙ平面と重なるように置くと、Ｏ（０，０，０）　Ａ（１、０，０）　Ｂ（1/2、(√3)/２、０）

２．三平方の定理を使って、Ｃ の座標を求める。

３．（１）の成果を使って、Ｑの座標を求める。するとＱのｚ座標の絶対値が求める垂線の長さになる。

お礼

こういう解き方もあるんですか。
両方の解き方でやってみて、確かにどちらも答えが同じになりました。
ありがとうございます。