数Ｂ平面ベクトルの問題

質問

平面ベクトルの問題です!解説をお願いします。 OA=√3,OB=√2, AB=2の△OABの形をした紙を考える。辺OAを2:1に内分する点を Cとし、図のように線分BCを折 り目としてこの紙を折ったときの頂点Oのうつる先をD、線分CDと辺ABとの交点をEとする。このとき、次の各問いに答えよ。

(1)↑OAと↑OBの内積を求めよ 。 (2)↑ODを↑OAと↑OBで表せ。 (3)△EDBの面積を求めよ。

回答No.1

ereserve67 · ベストアンサー

ベクトル記号↑を省略します．

OA=a,OB=bとおくと，|a|=√3,|b|=√2,∠AOB=θはa,bのなす角．

(1)△OABにおける余弦定理より，

cosθ={(√3)^2+(√2)^2-2^2}/(2√3√2)=1/(2√6)

∴OA・OB=a・b=√3√2cosθ=√6・1/(2√6)=1/2(答)

(2)a,bは0でない，平行でないから

OD=sa+tb

とおける．OD⊥BCより

OD・BC=(sa+tb)・(2a/3-b)=(2s/3)|a|^2+(-s+2t/3)a・b-t|b|^2
=2s-s/2+t/3-2t=3s/2-5t/3=0

t=9s/10

∴OD=s(a+9b/10)=(s/10)(10a+9b)

ODとBCの交点をMとすると，Mは線分ODの中点．

OM=(1/2)OD=(s/20)(10a+9b)

c=OC=2a/3とおくと，a=3c/2で

OM=(s/20){10(3c/2)+9b}=(3s/4)b+(9s/20)c

Mは直線BC上にあるから，

3s/4+9s/20=1

24s/20=6s/5=1,s=5/6

∴OD=(10a+9b)/12=(5/6)a+(3/4)b(答)

(3)EはCD上にあるから，

OE=(1-k)OC+kOD=(1-k)(2/3)a+(5k/6)a+(3k/4)b
=(2/3+k/6)a+(3k/4)b

EはAB上にあるから

(2/3+k/6)+3k/4=1

11k/12=1/3,k=4/11

∴CE=kCD=(4/11)CD

すなわちCE：ED=4:7である．よって

∴△EDB=(7/11)△BDC=(7/11)△BOC

OC：CA=3:1より△BOC=(2/3)△OAB

∴△EDB=(7/11)(2/3)△OAB=(14/33)(1/2)|a||b|sinθ
=(7/33)√3√2√(1-cos^2θ)=(7√6/33)√(1-1/24)
=(7√6/33)√(23/24)=(7√6/33)(√23/2√6)=7√23/66(答)

回答No.2

ferien

＞OA=√3,OB=√2, AB=2の△OABの形をした紙を考える。辺OAを2:1に内分する点を Cとし、
＞図のように線分BCを折 り目としてこの紙を折ったときの頂点Oのうつる先をD、
＞線分CDと辺ABとの交点をEとする。このとき、次の各問いに答えよ。

＞(1)↑OAと↑OBの内積を求めよ 。
△ＡＯＢで、余弦定理より
cos∠ＡＯＢ＝（ＯＡ^2＋ＯＢ^2－ＡＢ^2）／２・ＯＡ・ＯＢ
＝（３＋２－４）／（２×√３×√２）
＝１／２√６
ＯＡ・ＯＢ＝｜ＯＡ｜・｜ＯＢ｜cos∠ＡＯＢ
＝√３・√２・（１／２√６）
＝１／２

＞(2)↑ODを↑OAと↑OBで表せ。
ＯＣ＝(2/3)ＯＡより、
ＢＣ＝ＯＣ－ＯＢ＝(2/3)ＯＡ－ＯＢ……（１）

ＢＣとＯＤの交点をＦとする。
ＢＦ：ＦＣ＝ｔ：（１－ｔ）とすると、
ＯＦ＝（１－ｔ）ＯＢ＋ｔＯＣ
＝(2/3)ｔ・ＯＡ＋（１－ｔ）ＯＢ
ＢＣに関して、ＯとＤは対称だから、ＯＤ＝２ＯＦとおけるから、
ＯＤ＝２｛(2/3)ｔ・ＯＡ＋（１－ｔ）ＯＢ｝
＝(4/3)ｔ・ＯＡ＋２（１－ｔ）ＯＢ……（２）

ＢＣとＯＤは垂直だから、ＢＣ・ＯＤ＝０より、（１）（２）から、
｛(2/3)ＯＡ－ＯＢ｝・｛(4/3)ｔ・ＯＡ＋２（１－ｔ）ＯＢ｝
＝(8/9)ｔ・｜ＯＡ｜^2＋(4/3)（１－ｔ）（ＯＡ・ＯＢ）－(4/3)ｔ（ＯＡ・ＯＢ）
　　　　　　　　　　　－２（１－ｔ）・｜ＯＢ｜^2
＝(8/3)ｔ＋(2/3)（１－ｔ）－(2/3)ｔ－４（１－ｔ）＝０より、
ｔ＝５／８，１－ｔ＝３／８だから、
（２）へ代入して、
ＯＤ＝(4/3)・(5/8)ＯＡ＋２・(3/8)ＯＢ
＝（５／６）ＯＡ＋（３／４）ＯＢ

＞(3)△EDBの面積を求めよ。
ＢＣで折り返したから、△ＢＯＣ≡△ＢＤＣより、２つの三角形の面積は等しい。
cos∠ＡＯＢ＝１／２√６より、
sin^2∠ＡＯＢ＝１－(1/24)＝23/24より、sin∠ＡＯＢ＝√２３／２√６＝sin∠ＣＯＢ
△ＢＤＣの面積＝△ＢＯＣの面積
＝(1/2)×ＯＢ×ＯＣ×sin∠ＣＯＢ
＝(1/2)×√２×（２√３／３）×（√２３／２√６）
＝√２３／６

ＣＥ：ＥＤ＝ｓ：（１－ｓ）とすると、
ＢＥ＝（１－ｓ）ＢＣ＋ｓＢＤ
＝（１－ｓ）｛(2/3)ＯＡ－ＯＢ｝＋ｓ｛ＯＤ－ＯＢ｝
＝（１－ｓ）｛(2/3)ＯＡ－ＯＢ｝＋ｓ｛(5/6)ＯＡ＋(3/4)ＯＢ－ＯＢ｝
＝｛(2/3)+(1/6)ｓ｝ＯＡ＋｛－１＋(3/4)ｓ｝ＯＢ　……（３）

Ｂ，Ｅ，Ａは一直線上にあるから、ＢＥ＝ｋＢＡとおけるから、
ＢＥ＝ｋＯＡ－ｋＯＢ　……（４）
（３）（４）を係数比較して、
(2/3)+(1/6)ｓ＝ｋ，－１＋(3/4)ｓ＝－ｋ　を連立で解くと、
ｓ＝４／１１，１－ｓ＝７／１１
よって、ＣＥ：ＥＤ＝(4/11)：(7/11)＝４：７

△ＥＤＢと△ＢＤＣは、頂点をＢと考えると高さが同じだから、
面積の比＝ＣＤ：ＤＥ＝１１：７　になるから、
△ＥＤＢの面積＝（７／１１）△ＢＤＣ
＝（７／１１）×（√２３／６）
＝７√２３／６６

図を描いて確認してみて下さい。