加法群は半直積の正規部分群であることについて

質問

GをGL(n,R)の部分群とし、G×R^n上に
(A,a)・(B,b):=(AB,a+Ab)
という演算・を定め、これをGとR^nの半直積とし、G∝R^nと書くことにします。

このとき、加法群(R^n,+)はG∝R^nの正規部分群であるといえるのでしょうか？
よろしくおねがいします。

回答No.1

arrysthmia · ベストアンサー

混乱していますか？
部分群以前に、
R~n は G∝R~n の部分集合ですらありません。
G の単位元を E と書くとして、
G∝R~n の部分集合 H=｛(E,x)｜x∈R~n｝ が
正規部分群になるか？
という質問なら、意味がありそうです。

一見して明らかに、H は G∝R~n の部分群であり、
R~n の加法群と同型です。

正規性については、定義に従って、
(A,a)・H=H・(A,a) であることを
確認すればよいでしょう。
計算してみると、両辺の集合とも
｛(A,x)｜x∈R~n｝ となって、一致します。
A が GL の元であるため、可逆である
ことがポイント。
すなわち、H は G∝R~n の正規部分群です。