因数分解わかりません

質問

できたら過程もよろしくお願いします！！
解を求めたいので因数分解したいんです。

(1)z^4 + 4z^3 + 18z^2 + 4z + 1 = 0

(2)z^4 + 6z^3 -11z^2 + 6i + 1 = 0 ※iは虚数単位

(3)z^6 + 1 = 0

回答No.1

rnakamra · ベストアンサー

(1)と(3)だけ。

(1)この形の方程式は2次方程式に還元することが出来ます。
両辺をz^2で割る。
z^2+4z+18+4/z+1/z^2=0

x=z+1/zとおくと z^2+1/z^2=(z+1/z)^2-2z*1/z=x^2-2であるから上の方程式は
x^2+4x+16=0

となります。この解をα,βとする。x=αに対するzの値は
z+1/z=α　　→ z^2-αz+1=0
この2次方程式を解く問題に変わります。
α,βが複素数となるため解の公式に入れたとき根号の中に複素数が出てくる形になります。

(3)
ガウス平面上で考えるとすぐに答えが
z=e^(kiπ/6) k=1,3,5,7,9,11
であることがわかりますが、因数分解をしてもさほど難しくはありません。

z^6+1=(z^2)^3+1=(z^2+1)(z^4-z^2+1)
ここまでは簡単。後ろの因子の因数分解は
z^4-z^2+1=(z^2-1)^2-3z^2=(z^2-1)^2-{(√3)z}^2={(z^2+(√3)z-1}{(z^2-(√3)z-1}
となります。

解の公式で解くしかありませんが、2重根号にはならないので簡単な形になります。

(2)に関しては、WolframAlphaに解かせてもすごい形の解を出しますので多分因数分解は無理なのではないでしょうか。(参考URLにあるサイトの"Complex Solution"の欄にある"Exact forms"をクリックすると出てきます。根号の中に3重根が出てくる形になります。単に解の公式から出したものでしょう。)
解と係数の関係から
4つの解の積の絶対値=|6i+1| =√37
と素数の平方根という面倒な形になります。この点から考えてもこの式の因数分解はかなり難しいのではないでしょうか。

参考URL：

http://www.wolframalpha.com/input/?i=z^4+%2B+6z^3+-11z^2+%2B+6i+%2B+1+%3D+0

回答No.2

rnakamra

#1のものです。

(3)の因数分解でうち間違いがありました。

>z^4-z^2+1=(z^2-1)^2-3z^2=(z^2-1)^2-{(√3)z}^2={(z^2+(√3)z+1}{(z^2-(√3)z+1}

これは
z^4-z^2+1=(z^2+1)^2-3z^2=(z^2+1)^2-{(√3)z}^2={(z^2+(√3)z+1}{(z^2-(√3)z+1}

の間違いです。

お礼

ありがとうございます！

とてもわかりやすいです！