因数分解

質問

x^3+y^3-3xy+1

x(y^3-z^3)+y(z^3-x^3)+z(x^3-y^3)

この因数分解の仕方がわかりません。
一つ目はx^3+y^3だけや、x^3+1だけで因数分解なら出来るのですが、この式になると、どの組み合わせで因数分解したらいいのかわかりません。
二つ目は、ｘで整理する所までは出来るのですが、その先がどうしていいのかわかりません。
解る人がいれば、教えていただけませんか？

回答No.3

sunasearch · ベストアンサー

1つ目は公式みたいなものです。

a,b,cに、x,y,1を代入してください。

２つ目は、今度はｙについてまとめると、
(z-x)で因数分解できます。

お礼

失礼しました。
やっと言っている意味がわかりました。
a,b,cの因数分解は出来るので、x,y,1の因数分解も解くことが出来ました。
ありがとうございました。

回答No.2

noname#24819

因数分解について，少しコツをお教えしましょう。

1つめの式のxとyを入れ替えてみると，
y^3+x^3^3yx+1
となり，これはもとの式と全く同じ意味を成しています。
このようにもとの式のxとyを入れ替えても，もとの式と全く同じになるような式を『対称式』といいます。この場合は文字が2種類なので『2次の対称式』といいます。

対称式ではおおよその因数分解の形を推測できるのです。
2次の対称式であれば必ず因数分解した項は必ず基本対称式
x+y
xy
のみで構成されます。
本問もまさしくそのパターンです。
{(x+y)-1}{(x+y)^2+(x+y)-3xy+1}

同じように文字が3つあった場合は，xとy，yとz，zとxを入れ替えても3式とももとの式と同じになる場合を対称式といいます。

2つめの式のxとyを入れ替えてみると，
y(x^3-z^3)+x(z^3-y^3)+z(y^3-x^3)
=-{x(y^3-x^3)+y(z^3-x^3)+z(x^3-y^3)}
と，もとの式を-1倍したものと等しくなりますよね。
yとzを入れ替えた場合も，zとxを入れ替えた場合も同様です。
このような式を『交代式』といいます。
特に，文字がx,y,zと3つ使われているので，これを『3次の交代式』といいます。

交代式ではおおよその因数分解の形を推測できるのです。
たとえば，2次の交代式は因数分解すれば必ず(x-y)の項と対称式の積で表現できるのです。

例）x^2-y^2=(x-y)(x+y)
　　x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)
3次の交代式では因数分解すれば，必ず(x-y)，(y-z)，(z-x)の項と対称式との積で表現できます。

たとえば本文では，答えは
-(x-y)(y-z)(z-x)(x+y+z)
となり，まさに交代式の法則どおりですね。

お礼

こんな詳しくありがとうございます。
とっても解りやすかったです^^
交代式の法則、次から使ってみたいと思います!!

回答No.1

sunasearch

１つ目。
a^3+b^3+c^3-3abc =(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)
です。

２つ目。
x^3、x、xがない項、のそれぞれを因数分解すると、
(y-z)が共通因数になるので、まとめる。

補足

１つ目の問題を、勘違いしているみたいなんですけど、それと、２つ目が、
(y-z)でくくる所まで出来たんですけど、
(y-z){x(y^2+yz+z^2)-x^3-yz(y+z)}
ここから先、どうしたらいいんでしょうか？