高次元の多項式の因数分解方法

質問

x^6+2x^4+4x^2+8 を因数分解する方法を教えてください。
ただし、虚数は出てきません。
解答はありますが、どのように因数分解すればよいのかわかりません。
高校生にわかるレベルで方法を教えていただけませんか。

回答No.2

info222_ · ベストアンサー

No.1です。

ANo.1の補足について

失礼しました。
>> x^4+4=(x^2+2)^2-2x^2=(x^2+2+(√2)x)(x^2+2-(√2)x)なので
>こちらの式変形がわかりません。
>(x^2+2)^2-2x^2 を展開すると、x^4+2x^2+4 になってしまいます。
指摘のとおり当方のミスです。以下のように訂正します。

>　f(x)=(x^2+2)x^4 +4(x^2+2)=(x^2+2)(x^4+4)
の次の行から以下のように差し替えてください。
--------------------------------------------
公式A^2-B^2=(A+B)(A-B)を用いると
x^4+4=(x^2+2)^2-4x^2=(x^2+2+2x)(x^2+2-2x)なので

　f(x)=(x^2+2)(x^2+2x+2)(x^2-2x+2)　…(答)

[注] 各因数は実数の範囲ではこれ以上因数分解できないので上式が（答）になります。各２次因数を=0と置いた２次方程式の判別式Dは全て<0で２虚数解を持つことから因数分解がこれ以上できないことが判る。

お礼

回答ありがとうございます。
因数分解の方法が理解できました。

回答No.1

info222_

f(x)=x^6+2x^4+4x^2+8

まず式をよく観察することから始めましょう。
xの偶数乗の項しかない。→x^2(=uのような)塊で捉える。
前２項、後ろ２項を分けて観察すると同じ因数をもつ→(x^2+2)

これらのことから
　f(x)=(x^2+2)x^4 +4(x^2+2)=(x^2+2)(x^4+4)
[係数が有理数まで因数分解するならここまで]

x^4+4=(x^2+2)^2-2x^2=(x^2+2+(√2)x)(x^2+2-(√2)x)なので

　f(x)=(x^2+2)(x^2+(√2)x+2)(x^2-(√2)x+2)
[係数が実数の範囲までなら無理数はOKなのでここまで因数分解]

お礼

回答ありがとうございます。

> (x^2+2)x^4 +4(x^2+2)=(x^2+2)(x^4+4)

この式変形は理解できました。

> x^4+4=(x^2+2)^2-2x^2=(x^2+2+(√2)x)(x^2+2-(√2)x)なので

こちらの式変形がわかりません。

(x^2+2)^2-2x^2 を展開すると、x^4+2x^2+4 になってしまいます。