因数分解のやり方を教えてください。

質問

125y^3-360yz^2+216z^2
の因数分解のやり方を教えてください。

回答No.8

178-tall

「カルダノ算」の結果を再褐。

　x^3 - 72x + 216
= (x - 6)(x^2 + 6x - 36)　＝　(x - 6)(x- x2)(x- x3)
　　↓ x = 5y
= (5y - 6)(25y^2 + 30y - 36)　　　↓ x = 5y
　　　　　　　　　　　　　　　　= (5y - 6)(5y- x2)(5y- x3)

回答No.7

178-tall

たびたびの訂正、蒙御免。

つまり、(A) は x-6 で整除でき、その商は、
　x^2 + 6x - 36
となり、2 実根 x2 & x3 = －3±√(45) = -3*(1±√(5))を得る。
つまり、
　x^3 - 72x + 216 = (x - 6)(x - x2)(x - x3)

回答No.6

178-tall

錯誤を訂正。

つまり、
　x^3 - 72x + 216 = (x - 6)(x - x2)(x - x3)

回答No.5

178-tall

>　125y^3 - 360yz^2 + 216z^3　の因数分解のやり方 …
z = 1 として、「カルダノ方式」を試みると？

　25y^3 - 360y + 216
　　　↓ x = 5y として…
　x^3 - 72x + 216　　…(A)

の零点を求めてみる。

「3 実根」を持つらしく、x = u+v としたとき、u^3 が複素数になる。
その u^3 の立方根を求め、対応する v を算出して、
　x1 = u+v = 6
を得る。
つまり、(A) は x-6 で整除でき、その商は、
　x^2 + 6x - 36
となり、2 実根 x2 & x3 = －4±√(52) を得る。
つまり、
　x^3 - 72x + 216 = (x - 6)(x - x1)(x - x2)

回答No.4

kiha181-tubasa

係数が複雑な式ですが，yについての３次式と見なしましょう。
因数定理を使って因数分解することを試みます。
（因数を見つけやすくするため係数も素因数分解します）

125y^3-360yz^2+216z^3
=125(y^3-360/125z^2y+216/125z^2)
=125(y^3-(2^3*3^2*5)/(5^3)z^2y+(2^3*3^3)/(5^3)z^3)）

ここで
f(y)=y^3-(2^3*3^2*5)/(5^3)z^2y+(2^3*3^3)/(5^3)z^3
とおく。
y((2*3)/5z)=0
となるから，f(y)は y-(2*3)/5z で割り切れる。そして商は
y^2+(2*3)/5z-(2^3*3^2)/5^2z^2
となるから
f(y)=(y-(2*3)/5z)(y^2+(2*3)/5z-(2^3*3^2)/5^2z^2)

さらに
y^2+(2*3)/5z-(2^3*3^2)/5^2z^2
=(y-(2*3)/5z)(y+(2^2*3)/5z)　　（2次式なのでたすき掛けで，またはさらに因数定理）

よって
f(y)=(y-(2*3)/5z)(y-(2*3)/5z)(y+(2^2*3)/5z)

このことから
125y^3-360yz^2+216z^3
=125(y-(2*3)/5z)(y+(2^2*3)/5z)
=(5y-(2*3)z)(5y-(2*3)z)(5y+(2^2*3)z)
=(5y-6z)^2(5y+12z)……答

回答No.3

nihonsumire

説明しにくいですが、ある程度は勘と試行錯誤ってとこだと思います。
125*y^3=(5y)^3, 216z^3=(6z)^3なので、5y+6zか5y-6zを因数に持ちそうだと考えます。そこで与えられた式をこの因数で割って見ると、5y-6zで割りきれます。

回答No.2

011011gb

(5 y - 6 z) (25 y^2 + 30 y z - 36 z^2)

回答No.1

asuncion

できなそうです。

補足

すみません。問題を間違えていました。
125y^3-360yz^2+216z^3
の間違いです。