因数分解

質問

単純な因数分解ですが、どなたか分かる方、解き方を教えてください…
x^3+y^3+3xy-1

(解)　→　(x+y-1)(x^2+y^2-xy+x+y+1)

(上記因数分解の手順を教えてください…)

回答No.1

suko22 · ベストアンサー

x^3+y^3+3xy-1

=(x+y)^3-3xy(x+y)+3xy-1

=(x+y)^3-3xy(x+y-1)-1

=(x+y)^3-1-3xy(x+y-1)

=(x+y-1){(x+y)^2+(x+y)+1}-3xy(x+y-1)

=(x+y+1)(x^+2xy+y^2+x+y+1)-3xy(x+y-1)

=(x+y-1)(x^2+y^2-xy+x+y+1)

お礼

おお。ありがとうございます。
折角休日前に色々問題解こうとはりきってたのに、単純な因数分解でつまづいて時間を無駄にするところでした…

(x+y)^3-1-3xy(x+y-1)

までは簡単に変形できるのですが、

=(x+y-1){(x+y)^2+(x+y)+1}-3xy(x+y-1)

が完全に慮外の変形でした。

回答No.2

kuse

まず展開してみる。
(x+y-1)(x^2+y^2-xy+x+y+1)
x(x^2+y^2-xy+x+y+1)+y(x^2+y^2-xy+x+y+1)-(x^2+y^2-xy+x+y+1)
(x^3+xy^2-x^2y+x^2+xy+x)+(x^2y+y^3-xy^2+xy+y^2+y)-(x^2+y^2-xy+x+y+1)
(x^3+xy^2-x^2y+x^2+xy+x)+(x^2y+y^3-xy^2+xy+y^2+y)+(-x^2-y^2+xy-x-y-1)
x^3+y^3+3xy-1
おーキチンと、展開出来た。
ザックリ大きいところだけ取り出すと、
xが3乗、yが3乗、xyが3倍で、数字の-1があるんですよね？
（x^2）（x）と
（y^2）（y）と
（1）（-1）の組み合わせが分かる。
あとの3xyはオマケですよ。
(x+y-1)(x^2+y^2-1)

こんなサイトも見つけたよ。
http://www33.ocn.ne.jp/~math_lab/3a/3a_1.htm

補足

その"-1"がうまく因数分解に取り込めずに悩んでいたのですが…
公式のある因数分解なら悩みません。また、最高次がより低次の次数である文字にそろえて解く場合なども悩みません。
本題はガイドがなく、かなり力技に近い形で解かなければならないようです。
そのための指針があればいただけると嬉しいです。