**3次式の因数分解**分からない(。>ω<。)

質問

『30x^3＋31x^2＋41x＋6』→→因数分解→→(2x＋3)(3x＋1)(5x＋2)

私はまだ数IIbまでしか勉強していないのですが、上記の因数分解の過程が全く分かりません。3次式にも2次式のような“解の公式”のようなものが存在するのですか？
どなたか教えてくださいm(_ _)mよろしくお願い致します。

回答No.3

connykelly · ベストアンサー

30x^3+67x^2+37x+6=(2x＋3)(3x＋1)(5x＋2)のケースを考えてみます。

>“解の公式”のようなものが

近いものとして剰余の定理（因数定理）というのがあります（←ネットで検索しましょう）。これはP(x)という多項式がx=αで割り切ればP(α)=0となるいうものです。今の場合P(x)=30x^3+67x^2+37x+6として、P(α)=0となるαを見つけてやることになります。αは「定数項の約数÷最高次数項の係数の約数」なので、これらを代入して見つけることになります。今の場合、定数項は6で約数は1,2,3,6．最高次数の係数は30で約数は1,2,3,5,6、・・・。だから少し面倒ですが±1,2,3,6の他に±1/2,3/2,・・・を調べてやります。今の場合x=-3/2でP(-3/2)=0となりました。だからP(x)=(x+3/2)(Ax^2+Bx+C)=(1/2)(2x+3)(Ax^2+Bx+C)とかける事になりますね。ここまでくれば後は一気に、、、P(x)を2x+3で割ってやるとP(x)=(2x+3)(15x^2+11x+2)。15x^2+11x+2はたすきがけで簡単に因数分解できて(3x+1)(5x+2)となり、結局P(x)=(2x+3)(3x+1)(5x+2)と因数分解できることになります。

お礼

お礼が大変遅くなりまして申し訳ありません。
とてもわかりやすく教えていただきありがとうございました。
これからもよろしくお願いいたします。

回答No.2

koko_u_

>3次式にも2次式のような“解の公式”のようなものが存在するのですか？
存在するけど、あまりに複雑なため、それで因数分解をしようと思う者はいない。

>上記の因数分解の過程が全く分かりません。
因数定理が使えることを期待して試行錯誤して下さい。

回答No.1

debut

答えが違ってませんか？

(2x+3)(3x+1)(5x+2)
=(6x^2+11x+3)(5x+2)
=30x^3+55x^2+15x+12x^2+22x+6
=30x^3+67x^2+37x+6
で、元の式と合いません・・

xで微分すれば　90x^2+62x+41で、判別式＜０となり、
90x^2+62x+41＞０よって、元の式は単調増加。
x=-1/6で式の値が-1/9、x=-1/7でのそれは236/343となるので、
その間に実数で因数分解できるものが１つだけあるようですが。