複素数の問題教えて下さい

質問

P(x)=x^3+ax-20は
P(2)=-54を満たす。
このとき次の問題に答えよ

(1) aの値を求めよ

(2) P(x)をx+1で割ったときの余りを求めよ。

(3) P(x)=0の解をα,β,γとするとき
α+β+γの値を求めよ。

この３つのどれかでも
わかる人は全部お願いします
できるだけ詳しく教えてくれたら
うれしいです...

お願いします！

回答No.4

eco1900 · ベストアンサー

一つ一つ頑張って解説してみます^^A。ただし、【質問】だけを解決できたらという主旨ではなく、できるだけ問題の意味も含めて解説してみます^^A（自己への挑戦ですので、飽きたら読まなくてもいいですよ^^A）。

（１）まず、「P(x)＝x^3＋ax－20」というのは・・・「xを変数とする関数」とでも考えてください。
　　（もっと簡単に言えば、xに関する式）

　　だから、「P(x)」から見て、「P(2)」というのは・・・「xに２を代入してください」ということを意味します。

　　つまり、「P(x)＝～」の式から・・・
　 　　P(2)＝(2)^3＋a(2)－20
　　　　　　＝8＋2a－20
　　　　　　＝－12＋2a　・・・となります。

　　そして、P(2)＝－54とは「これが－54となる」らしいので・・・
　　　　　　　 －12＋2a＝－54
　　　・・・これを解いてa＝－21

（２）上のことから、「P(x)＝x^3－21x－20」と分かりました。

　　そこで、実際に、P(x)を「x＋1」で割り算してもいいのですが・・・少し面倒ですね、
　　というか、聞いてることは「余り」の部分だけですね。

　　ここで、強力な武器として「剰余の定理」というものがあります。

＊「剰余の定理」というのは、「余り」だけを見破ることができる武器のことで・・・

　　実際に、「お手本」としてこんな感じで利用します。

　　　P(x)＝x^3－21x－20を・・・「x－2」で割った時の余りは？

　　　　（い）割る式「x－2」を一旦「x－2＝0」として解いておきます。x＝2

　　　　（ろ）このxの値を「P(x)」の形から「P(2)」として計算します。

　　　　（は）計算した結果が、実は「余り」となっているんですよ^^A。

　＊そうなんです！先程の「P(2)」の値は・・・

　　「P(x)」を「x－2」で割った時の「余り」と言うことができるんです。

　　では、本題に戻って・・・「P(x)」を「x＋1」で割った時の余りは？というと・・・

　　上の（い）～（は）順に挑戦してみてください。きっと「P(－1)＝0」とたどり着けると思います^^。

　＊つまり、「余り」は「ゼロ０」だったんですね^^A。ということは・・・

　　「P(x)」は「x＋1で割り切れる」ということだったんですね。

（３）「P(x)＝0の解」が必要なので・・・
　　　「x^3－21x－20＝0 （A）」として解きたいところですが、これにも武器があります。

　　その名は「解と係数の関係」です。

　＊「解と係数の関係」という言葉は、聞いたことがあるかと思いますが・・・
　　　三次方程式の「解と係数の関係」をまずしっかりと抑えておきましょう。

　　・三次方程式の一般形として・・・今「ax^3＋bx^2＋cx＋d＝0（a,b,c,dは実数）」とします。
　　　そして、この三次方程式の解を、「α、β、γ」とします。

　　　これら３つの解について、次のような関係があります。
　　　　　・α＋β＋γ＝－b/a　　・αβ＋βγ＋γα＝c/a　　・αβγ＝－d/a

　　では、本題に戻って・・・

　　今回は、上の「解と係数の関係」から「α＋β＋γ」のことを聞いていますね。

　　ということで、三次方程式の一般形と、今さっきの（A）式の形から・・・
　　　　a＝１、b＝0、c＝－21、d＝－20　　となっていますね。
　　　　（＊b＝0は、x^2の係数が0と考えて・・・0x^2ということから）

　　つまり、α＋β＋γ＝－b/a＝－0/1＝0　^^A。

【追記】長くなりましたが、最後までお付き合いいただけてたなら光栄です^^v。

お礼

長々ありがとうございます(T_T)
(1)(2)はすごいよくわかりました！

質問なんですが
(3)の式にあてはめたとき
b=0となっていて
解説にx^2の係数が0と考えて…
と書いてありますが
それはなんで0なんですか？
x^2の部分の2乗部分が
x^3-21x-20=0の式に
ないからですか？

よかったら教えて下さいっ

回答No.5

eco1900

追加で、質問が入っていたので答えておきます＾＾A。

>質問なんですが(3)の式にあてはめたとき
>b=0となっていて
>解説にx^2の係数が0と考えて…
>と書いてありますが
>それはなんで0なんですか？
>x^2の部分の2乗部分が
>x^3-21x-20=0の式に
>ないからですか？
>よかったら教えて下さいっ

・・・と、お答えしようとしましたが、あなたの考え通りで「どんぴしゃ」です^^A。
・・・ということで、この辺で失礼しますね^^v。

お礼

ほんとありがとうございました！
わかりやすかったです(;_;)

回答No.3

alice_44

なんにもわかんなくても、A No.2 をノートに丸写しすることはできますね。
それでわかるようになるのかどうかは、謎ですが。

お礼

ちゃんと写します(T_T)

回答No.2

info22_

(1)
P(x)=x^3+ax-20
P(2)=2a-12=-54
2a=-42
∴a=-21

(2)
(1)より
P(x)=x^3 -21x-20
P(x)をx+1で割ったときの余りは,剰余定理より
P(-1)=-1+21-20=0
と余りはゼロになります。

(3)
P(x)=x^3 +0・x^2 -21x-20
=(x-α)(x-β)(x-γ)=x^3 -(α+β+γ)x^2 +(αβ+βγ+γα)x-αβγ
なのでx^2の係数を比較して（解と係数の関係）
　α+β+γ＝0
となります。

お礼

すみません
(1)の２行目の-12って
どっからきたんですか(T-T)?

回答No.1

alice_44

(1) ができないのは、ヤバ過ぎます。説明のしようがありません。
(2) 「因数定理」が何だったか思い出してください。答えは P(-1) です。
(3) (x-α)(x-β)(x-γ) の括弧を展開して、三次式を整理してください。
　　それを、P(x) = x^3 + ax - 20 と見比べると…
ところで、複素数の問題は、どこですか？

お礼

これ複素数じゃないんですか…
すみません(;_;)

複素数とかP(?)のやつ
まだ学校で習ってなくて
教科書にものってなくて
なんにもわかんないんですよ

すみません
回答ありがとうございました