複素数の問題です

質問

三次方程式
　3
ｘ　＋　ｘ＋　a　＝０
の解のひとつが１－２i　のとき、定数aの値と他の二つの解を求めよ。
という問題です。因数定理はaが邪魔で上手く使えないし、因数分解も出来ないようなのですが、どうやって解くのでしょうか？

回答No.1

eatern27 · ベストアンサー

xのn乗はx^nと表記します。

とりあえず、x=1-2iがx^3+x+a=0の解なんですから、
(1-2i)^3+(1-2i)+a=0
からaが求まりますね。aさえ求まれば後は何とでもなるでしょう。

(1-2i)^3の計算が大変だと思うのなら
x=1-2iの時、x^2-2x+5=0が成り立ちます。
x^3+x+aをx^2-2x+5で割った商と余りを求めて
x^3+x+a=(x+α)(x^2-2x+5)+βx+γ
と変形します。これにx=1-2iを代入すれば(1-2i)^3の計算が不要になります。

もし、aが実数だと分かっているのなら、x=1+2iも解である事を利用できます。

回答No.3

yoikagari

eatern27さんがおっしゃる通り、(1-2i)^3+(1-2i)+a=0
を解いてaを求めるしかないでしょう。
(そんな大した計算ではないはずです)

計算ミスがなければ、a=10となるはずです。

あとはx^3+x+10=0を解くだけです。
(因数定理を用いれば解のひとつはすぐ見つかるはずです)

回答No.2

yumisamisiidesu

1様のご回答で十分なので、本当は回答する必要がないように思いますが、・・。

a∈Rを仮定すると1+2iも解になることが知られてます
更に残りの解は実数になることも分ってます
そこで解を1±2i,x(∈R)として解と係数の関係を利用してみます
(1+2i)+(1-2i)+x=0(=-(x^2の係数/x^3の係数))
(1+2i)*(1-2i)*x=-a(=-(x^0の係数/x^3の係数))
∴x=-2,a=10