数学１の問題です

質問

数学の問題です。

超基礎の問題で申し訳ないのですが。

Xの二次関数ｙ＝ax^2-2a^2x+a^3+a^2-aが最大値６をとるとき。aの値を求めよ。

を解くのですが、「最大値が存在するから、グラフは上に凸である。a<0」
であるらしいのです。
頂点のy座標が６であるという条件だけで解いたのでaの値は二つでます。
解を一つにしぼるのにa<0を使いました。

次の問題（x^2-2ax+2a^2+2a-3の最小値は５であるとき、aの値を求めよ）では、解は二つ出ます。どうやら、それが答えのようです。

最大値だと解は一つで、最小値では解が二つになるわけではないのですよね・・・？

一問目風にいうなら、二問目は「最小値が存在するから、グラフは下に凸である。a＞０」にはならないのですか？

どなたか教えてください！！

回答No.3

noname#139365 · ベストアンサー

問２の答えは先ほども言いましたように下に凸なので必ず最小値は存在します
aに条件はつきませんので２つあります
aについて２次方程式になりますから
最小値a^2+2a-3=5で
a^2+2a-8=0
(a+4)(a-2)=0
でa=-4,2の時両方になります

お礼

回答ありがとうございます！！
回答まだかと待っていたのに、気づきませんでした・・・。

問２はaの条件はないので、解は二つあるのですね！

丁寧な解説ありがとうございます！！

回答No.4

eco1900

eco1900です^^A。
No1,3の方のおっしゃる通りです。
（２）では、答えは２つでますね。
・・・また問題を読み違えてました。
・・・ごめんね＾＾A。

お礼

回答ありがとうございます！
返事が遅くてすいません・・・。

私もよく、ミスをするので気をつけます。

ありがとうございました！

回答No.2

eco1900

最大値・最小値などが与えられた場合、まず基本形にしてみるといいですよ＾＾。

(1)　ｙ＝ax^2-2a^2x+a^3+a^2-a、最大値６

・あなたの言う通り、グラフで示すと上凸形の放物線になります。だから→a＜０．
・式を変形します。
　y＝a（x^2-2ax）+a^3+a^2-a
　 ＝a{(x-a)^2-a＾2}+a＾3+a＾2-a
　 ＝a(x-a)^2-a^3+a^3+a^2-a
　 ＝a(x-a)^2+a^2-a
　　・・・つまり、「x=a」で最大値「a^2-a」となります。
・最大値は６なので、a^2-a＝6
　→これを解いて、a＝〇、△とでます。でも、最後にa<0なので、一方だけがaの値となります。

(2)　x^2-2ax+2a^2+2a-3、最小値５
・あなたの言う通り、グラフで示すと下凸形の放物線になります。だから→a＞０．
・式を変形します。
　x^2-2ax+2a^2+2a-3
　　＝(x^2-2ax)+2a^2+2a-3
　　＝(x-a)^2-a^2+2a^2+2a-3
　　＝(x-a)^2+a^2+2a-3
　　　・・・つまり、「x=a」で最小値「a^2+2a-3」となります。
・最小値は５なので、a^2+2a-3＝5
　→これを解いて、a＝〇、△とでます。でも、最後にa>０なので、一方だけがaの値となります。

ちなみに、【答え】(1)a＝-2　(2)a＝２　　・・・計算ミスがなければ＾＾A

お礼

お礼のつもりでしたが、補足に書いてしましました。

回答ありがとうございました！

補足

回答ありがとうございます！！

解いていただいたのですが、(2)の解はa^2+2a-3＝5　→a＝〇、△

ですが、一方だけがaの値にはならないようです。

問１と問２は続けて出された問題なのに、なぜ問１では解が二つで問２の解が一つなのかわかりません。

回答No.1

noname#139365

１問目と２問目の違いは
１問目の関数はx^2の項がaになっていることです
このaがa>0かa<0によって確かにグラフが上向きか下向きかが変わってきます
２問目の関数はx^2の項は何もついていない+なのでaの値に関係なく下に凸になります

補足

回答ありがとうございます！！

x^2の項がaになっているとは、盲点でした！！

一問目ではaが＋かーか分からなかったが、最大値があるということで、aはーであるとわかったということでしょうか？