疑問点２つ

質問

１、複素数1+iを解の一つとする実数係数の3次方程式x^3+ax^2+bx+c=0について
(1)この方程式の実数解をaで表せ
(1)は解けまして実数解＝-a-2
問題は(2)でしてこの方程式と2次方程式x^2-bx+3=0がただ一つの解を共有するとき、定数a,b,cの値を求めよ
とりあえず一つの解は(1)でだした-a-2であると思うのですがこの先どうすればいいのかわかりません。

２、多項式P(x)を(x-1)^2で割った時の余りは4x-5で、x+2で割った時の余りは-4である
(3)P(x)を(x-1)^2(x+2)で割った時の余りを求めよ
回答を見たところ
P(x)=(x-1)^2(x+2)Q(x)+c(x-1)^2+4x-5と表していました。
答えは出せるのですが何故このようにあらわせるのかがわかりません。
長文となってしまいましたがお願いします

回答No.1

debut · ベストアンサー

１．(1)を解いたときに、実数解をαとすると　a=-α-2、b=2α+2、c=-2α　が出てきましたよね。
　　この２次方程式と共有する解はαだから、xにαを、bに2α+2を２次方程式に代入すると
　　α=-3、α=1と求まります。それらをa , b , c に代入すればいいと思います。

２．普通は P(x)=(x-1)^2(x+2)Q(x)+ax^2+bx+c と置きますよね。
　　ところが、P(x)は(x-1)^2で割ると余りが4x-5になるのだから、ax^2+bx+cを(x-1)^2で
　　割っても余りが4x-5となると言えるわけです。（なぜなら、(x-1)^2(x+2)Q(x)の
　　部分は(x-1)^2で割り切れるから）
　　つまり、ax^2+bx+c の部分は、(x-1)^2の何倍かと4x-5の和になるということ。
　　したがって、P(x)=(x-1)^2(x+2)Q(x)+c(x-1)^2+4x-5 と置けるのです。

この説明でわかるでしょうか？

お礼

１、bとcをaで表すことにまで頭が回りませんでした。
　　これで解決しました
２、詳しく説明してあって良くわかりました
回答ありがとうございます

回答No.2

tarame

その１
(1)を解いた段階で、ｂとｃをａで表すことができます。
ただ一つの解を共有するとき、その解は実数解です。
x＝-a-2 を x^2-bx+3＝0 に代入して　あとは連立方程式！！

その２
「P(x)を(x-1)^2で割った時の余りは4x-5」より
Ｐ(x)＝(x-1)^2Ｒ(x)＋4x-5　とおける。
ここで、もう一つの条件の x+2 に注目して
Ｒ(x)＝(x+2)Ｑ(x)＋c とおくと
Ｐ(x)＝(x-1)^2(x+2)Ｑ(x)＋c(x-1)^2＋4x-5 とおくことができます。

お礼

１、NO１の方にも書いたようにbとcをaで表すのに頭が回りませんでした
２、理解する事ができました
回答ありがとうございます