数学の問題

質問

数学の問題

次の二つの二次方程式が共通な実数解をもつとき、定数aの値を求めよ。また、その時の共通解を求めよ。

（１）

2x^2 - x - 1 = 0 x^2 + 2ax - a = 0

これは一つ目の式で解を求めて、それぞれ代入して求める
であっていますか？（共通解は二つということ）

（２）
x^2 - 3ax + 2a^2 = 0 x^2 - 2ax - a + 2 = 0

（３）
x^2 - ( a + 1 )x - 2 = 0 x^2 + x + a = 0

やり方と正答を教えてください。

回答No.1

aquatarku5 · ベストアンサー

(1) 2x^2-x-1=(2x+1)(x-1)=0 なので２つの実数解-1/2および1。
　　これをx^2+2ax-a=0に代入してaを求めます。
　　ということで、やり方はあっています。

(2)両方の式同士を引き算して、-ax+2a^2+a-2=0。
　　a=0だと式を満たさないので、a≠0。ゆえにx=(2a^2+a-2)/a

　これを元の式（ここでは1番目）に代入し、分母のa^2を払って整理。
　(2a^2+a-2)^2-3a^2(2a^2+a-2)+2a^4=0
　s=2a^2+a^2-2とおくと、s^2-3a^2s+2a^4=(s-2a^2)(s^a^2)=0
　したがって、a=2,-2,1。x=(2a^2+a-2)/aにこれらを代入し、共通解
　をうる。
　※元の2式にaの値を代入、あらためて方程式を解く等の検算も勧めます。

(3)両方の式同士を引き算して、(a+2)(x+1)=0。
　　x=-1のときは、これを元の2式に代入しaの値を求める。
　　a=-2のときは、これを元の2式に代入し、共通解がどうなるかを確認する。
　※検算の勧めは同様