数式の問題です。

質問

xの数式、P（x）= x^75 - 2x^50 + 3x^25 を、x^2 + x +1で割った余りを
ax +bとする。ただし、a.bは実数である。
このとき、x^2 +x +1=0の解の1つをwとすると、
P（w）=□w +□ である。

□を宜しくお願い致します。

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

題意より
　P(x)= x^75 - 2x^50 + 3x^25=(x^2 + x +1)Q(x) + ax +b ...(1)
と書ける。Q(x)は 73　次の実係数多項式。

wは2次方程式　x^2 +x +1=0 の共役複素数解の１つ(w≠1)であるから
　w^2 +w+1=0　...(2)
w-1（≠0）を掛けると
　w^3 -1=0 ∴w^3=1 ...(3)

(1)から
　P(w)= w^75 - 2w^50 + 3w^25=(w^2 + w +1)Q(w) + aw +b
(2)より
　P(w)= w^75 - 2w^50 + 3w^25=aw +b
　P(w)= (w^3)^25 - 2(w^3)^16*w^2 + 3(w^3)^8*w
(3)より
　P(w)= 1^25 - 2*1^16*w^2 + 3*1^8*w
　P(w)= 1 - 2w^2 + 3w
(2)より　-w^2=w+1 なので
　P(w)= 1 +2(w+1) + 3w
　P(w)= 5w+3　　←　答え

なお、wは虚数,a,bは実数であることから
　P(w)=aw+bより　a=5, b=3
となります。

お礼

大変わかりやすかったです。ありがとうございました。

回答No.2

hashioogi

余りと商を間違えました。
すいません。

P(x)をx^2+x+1で割った商をf(x)とすると、
P(x)=(x^2+x+1)f(x)+ax+b
となる。だから、
P(w)=(w^2+w+1)f(w)+aw+b
となる。

回答No.1

hashioogi

P(x)をx^2+x+1で割った余りをf(x)とすると、
P(x)=(x^2+x+1)f(x)+ax+b
となる。だから、
P(w)=(w^2+w+1)f(w)+aw+b
となる。
後はわかるでしょ?