数２の問題（複素数と方程式）を教えてください。

質問

数２の問題（複素数と方程式）を教えてください。

問題
aを実数の定数とする。４次方程式
　x^4-ax^3+(a+7)X^2-ax+1=0　・・・・・(1)
について、次の質問に答えよ。
[1]t=x+(1/x)とおくとき、方程式(1)をtの２次方程式に直せ。
[2]方程式(1)が2重解をもつとき、aの値をすべて求めよ。
[3]方程式(1)が異なる４つの正の解をもつとき、aのとり得る値の範囲を求めよ。

という問題です。
[1]だけやってみましたが、[2][3]はわかりません。
解説と模範解答をよろしくお願いします。

解答
[1]与えられた方程式はx=0を解に持たないから、両辺をx^2で割ると
　x^2-ax+a+7-(a/x)+(1/x^2)=0
　⇔　(x^2+(1/x^2))-a(x+(1/x))+a+7=0
　⇔　[(x+(1/x))^2-2]-a(x+(1/x))+a+7=0
　∴t^2-at+a+5=0　(答)

回答No.6

alice_44

←No.5 おや、そですね。
確かに「正の」とある。
見落としてました。多謝。

…ってことは、No.4 の 3 つ場合分けのうち、
どれが正の x だけ 4 個で、
どれが正の 2 個と負の 2 個で、
どれが負の x だけ 4 個
の場合にあたるか、区別しなきゃいけない
というこですね。

それは、ぜひ質問氏にお願いしたいな。
⇒ 補足要求 ってことで宜しく。

回答No.5

Tacosan

[3] は「異なる 4つの『正の解』」ですぜ＞#4.
t<-2 はまずい.

回答No.4

alice_44

あ、しまった。 [3] は…

F の判別式 ＞ 0 かつ F の軸 ＜ -2 かつ F(-2) ＞ 0

または

F(-2) ＜ 0 かつ F(2) ＜ 0

または

F の判別式 ＞ 0 かつ F の軸 ＞ 2 かつ F(2) ＞ 0

でなければ。

回答No.3

alice_44

まず、x と t の対応を確認することからでしょう。
t を x の関数と見てグラフを描けば、
｜t｜＞ 2 のとき、2 個の x が、
｜t｜= 2 のとき、1 個数の x が、
｜t｜＜ 2 のとき、0 個の x が対応し、
異なる t に対して、同じ x が対応することはない
ということが解ります。
したがって…

[2] x の重根がある
⇔ t = 2 または -2 が解である
t = ±2 を [1] へ代入すれば終わり。

[3] x の解が 4 個ある
⇔ t の解が ｜t｜＞ 2 の範囲に 2 個ある
二次方程式の解の分離問題です。
t の方程式を F(t) = 0 として、
F(-2) ＜ 0 かつ F(2) ＜ 0 でok。

お礼

ありがとうございます。
急用があり、御礼が遅くなりました。
書いていただいたものを見ましたが、
これだけでは私には理解できません。
すみません。数学すごく苦手なのです。
もしお手数でなければ、試験で提出してもよい形の模範解答と解説をお願いします。

回答No.2

info22_

[1]はOKでしょう。

考え方
[2]
tの実数条件から　D=a^2-4(a+5)≧0,
　a≦2-2√6≒-2.9,a≧2+2√6≒6.9

a=-3で (t+1)(t+2)=0,(x+1)^2*(x^2+x+1)=0となってx=-1(2重解)
t=-1は　x^2+x+1=0に対応し
　t=-2は (x+1)^2=0に対応します。
a=2-2√6で　x^4-ax^3+(a+7)x^2-ax+1>0　a不適
a=2+2√6で x^4-ax^3+(a+7)x^2-ax+1≧0
t=1+√6(重解)、x=(1/2){1+√6-√(3+2√6)}(2重解),
　　　　　　　　(1/2){1+√6+√(3+2√6)}(2重解)
a=9で　(t+2)(t+7)=0,x=(7±3√5)/2,x=1(2重解)
以上から(答)a=-3,2+2√6,9

[3]
グラフを描いて[2]から考えれば
2+2√6<a<9
となるかと思います。

お礼

ありがとうございます。
急用があり、御礼が遅くなりました。
教えていただいたものを見て考えてみましたが、
この問題の意図するもの、教えていただいた式の意味、
それぞれの関連などがよくわかりません。
お手数だとは思いますが、もしよろしければ、
解答として提出してもよい形の模範解答と
解説をお願いします。

回答No.1

Tacosan

[2], [3] は元の 4次方程式と置き換えてできた 2次方程式との関係を考えるのが普通でしょう. たぶん [2] より [3] の方が見通しは立つと思います.

お礼

ありがとうございます。
急用があり、御礼が遅くなりました。
が、さっぱりわかりません。
もしよろしければ、模範解答と解説をお願いします。