複数の無差別曲線が交わらないことの証明

質問

掲題の通りです。

複数の無差別曲線が交差しないことの証明ですが

条件として
・微分は使わない(ただし「接線の傾き」などという表現はOK)
・予算線は使っても使わなくてもいい

です。
宇宙人にもわからないとのことです。
http://okwave.jp/qa/q6846146.html
のNo.9

どなたか解説いただけますでしょうか？

回答No.2

aokisika · ベストアンサー

背理法を使いましょう。
無差別曲線が交わると仮定すると矛盾が生じることを示すのです。

いま、商品Ａと商品Ｂを買った時の効用を

Ｕ＝Ｕ（Ａ，Ｂ）

とします。
ａ１＜ａ２のとき、
商品Ａをａ１個、商品Ｂをｂ個買った時の効用Ｕ１は

Ｕ１＝Ｕ（ａ１，ｂ）

商品Ａをａ２個、商品Ｂをｂ個買った時の効用Ｕ２は

Ｕ２＝Ｕ（ａ２，ｂ）

です。Ｕ１とＵ２のそれぞれの組み合わせで商品を買った時の２本の無差別曲線を考えると、無差別曲線は右上の曲線ほど効用が大きいので

Ｕ１＜Ｕ２

となりますから、

Ｕ１≠Ｕ２

です。しかしこれが交差しているので

Ｕ１＝Ｕ２

でなければなりません。これは矛盾しています。この矛盾は「２つの無差別曲線が交わる」と仮定したことから生じたので、「無差別曲線が交わる」という仮定が間違っていることになります。

よって無差別曲線は交差しません。

お礼

回答ありがとうございます。
なるほど、「2つの無差別曲線が交わる」と仮定して、それを否定すればいいんですね。
「交わらない」という結論を証明しようとして「悪魔の証明」に陥りかけていました。

すっきりしました。ありがとうございます！