すいません・・・もうひとつお願いします。

質問

f(x)=x^3-3x^2のグラフで点(0,k)を通り、曲線y=f(x)に接線が一本だけひけるように、kの範囲を定めよ。

微分して傾きは求められたんですけどそっから進めなくなりました・・・

なんどもすいません。よろしくおねがいします！

回答No.5

kahlua_ · ベストアンサー

方針はさっき説明したものと変わりませんが
手書きでわかりやすくなったと思います。
わからないとこがあれば質問してください。

参考URL：

http://sugaku-r-x.blogspot.com/

回答No.6

mister_moonlight

曲線上の点Ｐ(t、t＾3-3t＾2)における接線は、y＝(3t＾2-6t)(x-t)＋(t＾3-3t＾2)‥‥(1)
(1)が点(0、k)を通るから、(1)にx＝0、y＝kを代入して、tの関数と見る。
f(t)＝2t＾3-3t＾2＋k＝0　‥‥(2)となるが、題意を満たすには接点が１個しかなければ良い。
即ち、(2)を満たすtの値が１個であるようなkの値の範囲を求めると良い。
そのためには、(2)において(極大値)(極小値)＞0であると良い。‥‥(3)
結果は、k＞1、or、k＜0.

(3)については、高校の教科書に載っていると思います。
もし分らなければ、3次関数のグラフを描いて、
・異なる3つの実数解を持つのは　(極大値)(極小値)＜0
・重解を持つ時は　(極大値)(極小値)＝0
・1つの実数解しか持たないのは　(極大値)(極小値)＞0
である事を確認してください。

回答No.4

koyann

すいません。3x^2 のところを 2x^2にしてました。訂正をお詫びいたします。

回答No.3

koyann

この問題はf(x)上の接点から考えるとわかりやすいです。まず、f(x)上の一つの点を決めます。その x 座標を a だとする。つまり、f(x)上の
その座標は　(a, a^3 - 2a^2) になります。次にこの点における接線の方程式を求めます。

f'(x) = 3x^2 - 4x なので、(a, a^3 - 2a^2)　での接線の傾きは、
3a^2 - 4a になります。このことから、接線の方程式は、

y = (3a^2 - 4a)x + (-2a^3 + 2a^2)　になります。ここで、話は最初に戻ります。「f(x) = x^3 - 3x^2 のグラフで点(0,k)を通り、y=f(x)の接線」ということですから、kは接線の方程式の切片にあたるわけです。ゆえに、

k = -2a^3 + 2a^2 です。この式は、どういう意味かというと、aによってkの値は決まるということです。つまり、f(x)上のどの点を接点にするかによって、kの値は決まってしまうわけです。

あとは、この k = -2a^3 + 2a^2 のグラフを書くだけです。答えは、ｋが一つのときaの値も一つとなるように範囲を求めます。わかりにくかったら、グラフに横棒をいっぱいひいてみてください。一個しか交わらないところが答えです。

参考までに私の答えをのせておきますと、 k > 2/3 , k < 0　になりました。少しわかりにくい説明になって申し訳ないです。

回答No.2

kahlua_

続きです

右辺をg(t)とおくと
この式はy=kとy=g(t)を連立した形なので
g(t)=kの解の数はy=kとy=g(t)の交点の数なことがわかります。

ここでy=g(t)のグラフを書くと（因数分解したり、微分したりして）
３次関数で↓(0,0)↑(1.1)↓のような形をしていることがわかるので

k<0のとき1つ
k=0のとき2つ
0<k<1のとき3つ
k=1のとき2つ
1<kのとき1つ

の交点、すなわち解を持つことがわかります。

k<0,1<kのときに対応するtが1つなので
これが答えだとわかります。

文字だけだと難しいかもしれません・・・。

お礼

たしかに文字でけではキツイです・・・

でも解答ほんとうにありがとうございます！！

回答No.1

kahlua_

y=f(x)上の点(t,f(t))での接線を考えます

接線: y-f(t)=f'(t)(x-t)

この直線は必ずy軸と交わるので
これが(0,k)を通るとすると
代入して

k-f(t)=-tf'(t)

ちゃんと値を入れて計算すると

k=-t^2(2t-3)

となります。
次に、この式がkが動いたときに何個の解(t)を持つか考えます
ここまでどうでしょうか。