曲線y=1/x(x＞0)上の点Pに

質問

おけるこの曲線の接線をlとし、原点Ｏからlに下ろした垂線の足をQとする
2直線ＯPとＯQは直線y=xに関して対称の位置にあることを証明せよ

証明の仕方教えてください

回答No.4

tmpname · ベストアンサー

どちらかというと、Qの 座標を出すのではなく、
以下の方針の方が楽でしょう。

＊点Pと、直線y=xに関して対称な位置にある点Rを求める（すぐに出る）
＊ORとlが直交することを言えばよい（ORとlが直交していれば、
Oからlに下ろした垂線の足Qは直線OR上にある）

ORの傾きも直ぐでますし、lの傾きも直ぐでるので、容易に証明出来るでしょう。

お礼

分かりました
ありがとうございます！

回答No.12

noname#199771

＞#10

「AならばB」を証明したいのにBを仮定してどうするんですか？
単純なことです。

回答No.11

tmpname

＞lと直線y=xに関して対称の位置の位置にある直線m

OPと直線y=xに関して対称の位置の位置にある直線m、の間違いです

回答No.10

tmpname

>No.9

だから
＊lと直線y=xに関して対称の位置の位置にある直線mは唯一存在する
＊原点を通りlに垂直な直線nも唯一存在する。

よって、
題意は「mとnが一致することを証明せよ」という命題と同じだよね、ということであって、論理の不明点はありません。

回答No.9

noname#199771

＞#7
＞OP と x=y について対称な直線は、常に唯一存在するから、

#5は、示すべき結論から出発するのは筋が危ういということを言っています。
証明を書く際にはその危うさがないようにしておく必要があります。

回答No.8

yyssaa

補足
それは絶対にありません

＞不注意で申し訳ない。再回答します。
y=1/x、dx/dy=-1/x^2、P(a,b)とすると、lの傾斜は-1/a^2。
lに垂直な直線の傾斜はa^2。傾斜がa^2で原点を通る直線は
y=a^2x。この直線とlとの交点がQであり、この直線とy=1/x
との交点をQ'(c,d)とすると、両式を連立で解いて
a^2x=1/x、x^2=1/a^2、x,a＞0だからx=1/aとなり、c=1/aで
d=1/c=a。
P(a,b)だからb=1/a。よってQ'(c,d)=Q'(b,a)。
点P(a,b)と点Q'(b,a)はy=xに関して対称の位置にあるので、
直線OPと直線OQ'はy=xに関して対称。直線OQ'は直線OQ。
よって、直線OPと直線OQはy=xに関して対称（証明終わり）

お礼

こちらもちょっとキツく言い過ぎました
すみません
回答ありがとうございました

回答No.7

alice_44

←A No.5

OP と x=y について対称な直線は、常に唯一存在するから、
A No.4 の解法は、正しい。

OQ の傾きを未知数に置いて、A No.6 の解法を
方程式で逆からたどることに相当している。

回答No.6

naniwacchi

こんばんわ。

・点Pの x座標を pとでもおいて、接線：L（大文字で表記）の方程式を求める。
また、直線OPの傾きも求めておく。

・点Qの座標を求める必要はなく、直線OQの傾きを求めることがポイント。
つまり、単に接線：Lに垂直な直線の傾きを求めるだけでよい。
（その直線が、原点を通ると考えればよい）

・2直線OP、OQの傾きは pを用いて表される。
直線OPが x軸の正の方向となす角をθp、直線OQが x軸の正の方向となす角をθqとおくと、
(OPの傾き)＝ tan(θp)、(OQの傾き)＝ tan(θq)と表される。

・直線の「角度」を考えて
a) 90°-θp＝ θq または 90°-θq＝ θpであることを示す。

b) θp- 45°＝ 45°-θq または 45°-θp＝ θq- 45°であることを示す。

c) OP、OQ、y＝ xの方向ベクトルを L→、M→、N→として（大きさをそろえる必要はなし）、
L→と N→、M→と N→のなす角（cosθ）が等しくなることを示す。

・図形的に「対称」とするのであれば、
d) 直線：y＝ xに垂直な直線：Kを考え、KとOPの交点と KとOQの交点が対称な位置にあることを示す。

ちなみに、点Pと点Qは（直線：y＝ xに）対称な位置関係にありません。
なので、点Qの座標を求める意味があまりありません。

まだ別解もあるかとは思います。

お礼

分かりました
ありがとうございます！

回答No.5

noname#199771

＞#4

それだと「対称⇒直行」であって「直行⇒対称」とは違うので、
証明になりません。

回答No.3

noname#199771

#1、#2は勘違いされています。
方針だけ書くので、詳細は自力でやってみてください。

Pの座標を(p,1/p)とおいてPでのその曲線上の接線の方程式を求める。

↓

Qの座標を(q_1,q_2)とおき、Qがl上にあることと、OQの傾きとlの傾きの積
が-1であることを使ってq_1、q_2を求める。

↓

OPの方向ベクトルをその大きさで割った単位ベクトルを求める。
OQについても同様。

↓

それらのx座標とy座標を入れ替えるとお互いの座標になることを確かめる。

お礼

分かりました
ありがとうございます！

回答No.2

yyssaa

＞問題が間違い？

補足

それは絶対にありません