放物線の接線の傾きと加速度について

質問

放物線に点t0、ｔ１、ｔ２…とあり、それぞれの接線の傾きを求めた値、
点t0、ｔ１、ｔ２…の座標を微分すると速度、もう一度微分で加速度になりますが
点の傾き加速度にはどのような関係があるのかを数式での証明を教えていただきたいです。

よろしくお願いします。

回答No.1

sanori · ベストアンサー

こんにちは。

接線の傾きは、加速度ではなく速度です。

ａ：加速度
ｇ：重力加速度（の絶対値）
ｖ：速度
ｈ：高さ

ａ　＝　－ｇ

積分して
ｖ　＝　∫ａｄｔ　＝　∫－ｇｄｔ　＝　－ｇ∫１ｄｔ
　＝　－ｇｔ　＋　定数

ｔ＝０　のときの速度を　ｖo　と置けば、
ｖo　＝　－ｇ×０　＋　定数　＝　定数
なので、
ｖ　＝　－ｇｔ　＋　ｖo

もう１回積分して、
ｈ　＝　∫ｖｄｔ　＝　∫（－ｇｔ＋ｖo）ｄｔ　＝　－ｇ∫ｔｄｔ　＋　ｖo∫１ｄｔ
　＝　－ｇｔ^2／２　＋　ｖoｔ　＋　定数２

ｔ＝０　のときの高さを　ｈo　と置けば、
ｈo　＝　－ｇ×０^2／２　＋　ｖo×０　＋　定数２　＝　定数２
なので、
ｈ　＝　－ｇｔ^2／２　＋　ｖoｔ　＋　ｈo
これが放物線です。

放物線の接線の傾き　ｄｈ／ｄｔ　は、
ｄｈ／ｄｔ　＝　ｄ／ｄｔ（－ｇｔ^2／２　＋　ｖoｔ　＋　ｈo）
　＝　－ｇｔ　＋　ｖo
　＝　ｖ
速度です。

お礼

こんにちは。
早急な回答ありがとうございます。

丁寧な式の変換をお書きいただきありがとうございます。
無事に理解することができました。
ありがとうございました。