高校数学の問題です。

質問

点（ｔ^2, 0）でｘ軸に接し、点（-1, 1+ｔ^2）を通る放物線を考える。
ｔが動くとき、この放物線の通り得る範囲を求め、図示せよ。

ワークブックの問題なのですが、どのような方針で解けばよいか分からず困っています。
数学が得意な方、できれば途中計算も含め、回答よろしくお願い致します。

回答No.3

mister_moonlight · ベストアンサー

求める放物線は、(1＋t＾2)y＝(xーt＾2)＾2　‥‥(1)になる事くらいはわかるだろう。
そうすると、これをtの方程式と見て、t＾2＝mとすると、m≧0.
(1)を整理すると、f(m)＝m＾2-(2x+y)m＋(x-y＾2)＝0が、m≧0の解を少なくても１個も持つと良い。
(1)　m≧0の解を２個持つとき
判別式≧0、2解の和≧0、2解の積≧0　が条件　→　y(y+4x+4)≧0、y+2x≧0、x-y＾2≧0
(2)　m≧0の解が1個の時　
2解の積≦0　が条件　→　x-y＾2≦0

以上、(1)と(2)をxy平面上に図示すると良い。
考え方は、動くもの　つまり　t　の方程式と考えるところが基本。それに　t＾2≧0　が加味された問題。

お礼

ありがとうございました。
大変助かりました。

回答No.2

info22_

点（ｔ^2, 0）でｘ軸に接する放物線は

y=a(x-t^2)^2 …(1)

とおける。(1)が点（-1, 1+ｔ^2）を通ることからこの座標を(1)に代入すると成立する。

1+t^2=a(-1-t^2)^2
1+t^2=a(1+t^2)^2
1+t^2>0なので両辺を（1+t^2)^2 で割ると
a=1/(1+t^2) …(2)

(2)を(1)に代入すると

　y=(x-t^2)^2/(1+t^2) …(3)
tは実数なので y≧0 …(4)

これをt^2について解くと

　y+yt^2=t^4-2xt^2+x^2
t^4-(2x+y)t^2+x^2-y=0
t^2=u(≧0)と置くと
　f(u)=u^2-(2x+y)u+x^2-y=0
u(≧0)の実数条件から
　判別式D=(2x+y)^2-4(x^2-y)=(y+4x+4)y≧0
　 (3)からy≧0なので y+4x+4≧0　…(5)
　f(0)=x^2-y≧0の時　u≧0の2実解（重解含む）条件は　軸：u=(2x+y)/2≧0
　　∴-2x≦y≦x^2 …(6)
f(0)=x^2-y<0の時　u≧0で常に1実解
∴y>x^2 …(7)
(4),(5),(6)まとめて求める放物線の通り得る範囲は
x<0の時 y≧x^2
x≧0の時 y≧0
この範囲の図示は出来ますね。

お礼

ありがとうございました。
大変助かりました。

回答No.1

spring135

＞点（ｔ^2, 0）でｘ軸に接し、点（-1, 1+ｔ^2）を通る放物線
の方程式は

t^4-(2x+y)t^2+x^2-y=0

z=t^2とおくと

z^2-(2x+y)z+x^2-y=0

この2次方程式が
正または0の実解を持つ条件

(1)判別式≧0
　　y(y+4x+4)≧0
(2)中心軸が≧0
　　2x+y≧0
(3)y軸との交点のy座標≧0
　　x^2-y≧0

これらを図示すればよい。
等号が入らない場合もあるかもしれないので確認してください。

お礼

ありがとうございました。
大変助かりました。