数学の問題なのですが、教えてください。

質問

数学の問題なのですが、教えてください。

a>0とする。座標平面において、2点(a , 0),(2a+1 , 0)から放物線y=x^2に引いた接線でx軸と異なるものをそれぞれl1,l2とする。

(1)l1とl2の方程式を求めよ。
(2)この放物線とl1,l2で囲まれる部分の面積Sを求めよ。
(3)Sがl1,l2およびx軸で囲まれる部分の面積に等しくなるようなaの値を求めよ。

積分というものが正直よくわかりません。
どうか解説お願いします。

回答No.1

gohtraw · ベストアンサー

（１）ｌ１、ｌ２と放物線との接点をＡ（ｍ、ｍ＾２）、Ｂ（ｎ，ｎ＾２）とすると、ｌ１、ｌ２の傾きはそれぞれｍ＾２／（ｍ－ａ）、ｎ＾２／（ｎ－２ａ－１）となります。一方、ｙ＝ｘ＾２をｘで微分するとｄｙ／ｄｘ＝２ｘですからｌ１、ｌ２の傾きはそれぞれ２ｍ、２ｎでもあります。これらから
ｍ＾２／（ｍ－ａ）＝２ｍ
ｎ＾２／（ｎ－２ａ－１）＝２ｎ
であり、これを解くと（ｍ、ｎの二次方程式です）接点の座標が判ります。接線の条件としてｘ軸と異なるとあります。ｘ軸とこの放物線の接点は原点なので、０ではない方が解です。以上より二本の接線の式はｙ＝２ｍｘ＋α、ｙ＝２ｎｘ＋βと表され、これらが(a , 0),(2a+1 , 0)を通ることを利用すれば接線の式が求められます。
（２）まず図を書きましょう。放物線を描き、ｘ軸上の適当な二点（これらが(a , 0),(2a+1 , 0)です）からこの放物線に接線を引きます。接点は上記のＡおよびＢです。ｌ１とｌ２の交点をＣ（ｐ、ｑ）とすると、求める面積は
ｍからｐまでの区間：放物線とｌ１の間
ｐからｎまでの区間：放物線とｌ２の間
であることが判ります。放物線はｌ１、ｌ２より上にあるので
（放物線の式－ｌ１の式）をｍからｐまで積分したもの
（放物線の式－ｌ２の式）をｐからｎまで積分したもの
の和が求める面積です。
（３）ｌ１、ｌ２およびｘ軸で囲まれる部分は三角形であり、ｘ軸上の、2点(a , 0),(2a+1 , 0)を結ぶ線分を底辺と考えると高さは上記のｑになります。これらから三角形の面積が判り、これを（２）で求めたＳと等しいとおくと条件を満たすａの値が判ります。