数学の問題で分からないのがあります。

質問

(1)グラフが次の条件を満たすような２次関数を求めてください。（途中式もお願いします。）
・3点(-1,-8), (2,7),(5,4)を通る。

(2)グラフが次の条件を満たすような２次関数を求めてください。（途中式もお願いします。）
・軸の方程式がx=-1で、2点（-4, -7）, (1, 3)を通る。

(3)放物線y=ax^2+bx+cをx軸方向に2, ｙ軸方向に3だけ平行移動し、さらに、原点に関して対称移動すると放物線y=2x^2+8x+5になった。定数a,b,cの値を求めてください。（途中式もお願いします。）

回答No.2

KEIS050162 · ベストアンサー

まず、教科書の二次関数とグラフ、そしてグラフを書くための平方完成のところをよーく読んでください。これらは例題のところに類似の問題がありますので、しっかりと理解しておいてください。数Ｉの最も重要なところですので、今のうちにしっかりとね。

１）ｙ＝ａｘ＾２＋ｂｘ＋ｃ　（二次関数はこの形で仮に置くことができます）　と置いて、与えられた３点をそれぞれ、ｘ、ｙに代入し、ａ，ｂ，ｃの３元について、三つの連立一次方程式を作ってみてください。この場合、未知数はａ，ｂ，ｃですが三つ方程式があるので、それぞれの値を求めることが出来ます。計算間違いをしなければ素直な整数になるはずです。

２）次はちょっと骨が折れますが、

二次関数を平方完成すると、ｙ＝ｋ（ｘ－ｐ）＾２＋ｑ　と変形することが出来ます。（変形方法は教科書を良く読んでください。）

これは数Ｉの段階で、もっとも大事な二次関数の性質を知る変形方法となります。
ここで、ｘ＝ｐのとき前半部分が０になることが分かりますね？この時、aが正ならこの関数はｘ＝ｐのとき最も小さい値、aが負なら最も大きい値、即ちグラフの頂点のｘ座標になり、これを軸と呼びます。頂点の座標は、（ｐ、ｑ）です。

条件として軸の式がｘ＝－１と与えられているので、ｐ＝－１ということが分かります。あとは、２）と同様に、２点の座標をｘ、ｙに代入して、残りのａ，ｑの連立方程式を組めば、それぞれの値を求めることが出来ます。

３）　２）を元にしたグラフの並行移動の応用問題ですね。ちょっと難しいですが、順番にひとつずつやっていってみてください。平方完成の方法が分からないと出来ませんので、教科書を読んでよく理解しておいてください。

ｙ＝２ｘ＾２＋８ｘ＋５を平方完成してみてください。これで、ｘ軸、頂点の座標が分かります。
仮にこれを、ｙ＝ｋ（ｘ－ｐ）＾２＋ｑ　とおきます。（平方完成するとそれぞれｋ、ｐ、ｑの値が求まるはずです。）

移動を逆に追っていきます。
原点に関して対象（点対称ですね？）なので、求まった頂点の座標を正負を反転します。
（ｐ、ｑ）　を　（－ｐ、－ｑ）にする。
また、グラフの向きも反転するので、ｋもーｋとする。

次に、ｙ軸に－３、ｘ軸に－２移動させます。（元に戻していく）

すると、求められたｙ＝ｋ（ｘ－ｐ）＾２－ｑ　を　ｙ＝－ｋ（ｘ＋ｐ＋２）－ｑ－３　とするということになります。
これを展開して、それぞれの係数をｙ＝ａｘ＾２＋ｂｘ＋ｃ　と比べて、ａ，ｂ，ｃを求めます。

落ち着いて計算すれば、すごい簡単な式に変換されることが分かるはずです。

ご参考に。

回答No.1

gohtraw

（１）
求める二次関数をｙ＝ａｘ＾２＋ｂｘ＋ｃとおいて、与えられた三点のｘ座標、ｙ座標を代入して下さい。例えば（－１，－８）だったらー８＝ａ－ｂ＋ｃということね。三点についてこれをやると式が三つできるので、連立方程式として解けば終了です。

（２）
求める二次関数をｙ＝ａ（ｘ＋１）＾２＋ｂとおいて、与えられた二点のｘ座標、ｙ座標を代入して下さい。要領は（１）と同じ。するとａとｂの連立方程式になるので・・・。

（３）
色々移動したあとの放物線は
ｙ＝２ｘ＾２＋８ｘ＋５
　＝２（ｘ＋２）＾２－３
これに問題文と逆の操作をしてやるとｙ＝ａｘ＾２＋ｂｘ＋ｃになります。
・原点に関して対称移動：ｘ→ーｘ、ｙ→ーｙと置き換えてーｙ＝２（－ｘ＋２）＾２－３
ｙ＝－２（－ｘ＋２）＾２＋３

・ｙ軸方向にー３だけ移動
ｙ＝－２（－ｘ＋２）＾２

・ｘ軸方向にー２だけ移動
ｙ＝－２（－ｘ＋４）＾２
これを展開して係数を比較して下さい。