数学の問題の出典

質問

数学の問題の出典

ある数学の問題なんですが、出典がわからないので解答がわからず悶々としています。わかる方がいらっしゃったらぜひ教えてください。よろしくお願いします。

放物線 C:y＾2=－2xと,Cと合同な放物線Dがある。Dは,最初,放物線y＾2=2xに一致しており,Cに接しながら滑ることなく反時計回りに回転する。このとき,放物線Dの頂点Pが描く曲線をEとする。

（1） CとDの接点の座標が（-t＾2/2,t）であるときの点Pのｘ座標,ｙ座標を

　　　　　　x＝f(t),y＝g(t)

　　　と表す。f(ｔ),g(ｔ)を求めよ。また,極限値

　　　　　　lim f(ｔ)　(t→∞)
　　　を求めよ。

（2）（1）で求めた極限値をaとする。0＜u＜aを満たす実数uに対して,曲線Eとｘ軸,直線ｘ＝uによって囲まれた部分の面積をS（u）とするとき,極限値

　　　　　　　　　lim S（u）(u→a-0)
　　　を求めよ。

回答No.1

Anti-Giants

証明の概略。

(1)
CとDの接点におけるC(or D)の接線をLとする。
点Pは、接線Lに関して原点(Cの頂点)と線対称の位置にある。
計算して求めると

x=f(t)=t^2/(t^2+1).
y=g(t)=t^3/(t^2+1).

lim_{t→∞}f(t)=1.

(2)
t=f^{-1}(x).
y=g(f^{-1}(x)).

x=f(t).
dx=2tdt/(t^2+1)^2.

[0,u]は積分期間区間を表すことにする。
積分記号は省略。
変数変換などしない限り、積分区間も二回目以降は省略。
S(u)
=[0,u]ydx
=g(f^{-1}(x))dx
=g(t)×2tdt/(t^2+1)^2
=2t^4dt/(t^2+1)^3
=-t^4{1/(t^2+1)^2}'dt
=-u^4/(u^2+1)^2+4[0,u]t^3/(t^2+1)dt
=-u^4/(u^2+1)^2-4u^3/(u^2+1)+12[0,u]t^2/(t^2+1)dt
=-u^4/(u^2+1)^2-4u^3/(u^2+1)-12arctan(u)+12u.

lim_{u→1-0}S(u)=-1/4-2-3π+12=39/4-3π.

検算はしていません。

補足

解答ありがとうございます。
えーと・・・（２）以降について

　－t^4{1/(t^2+1)^2}'dt≠2t^4dt/(t^2+1)^3
⇔－{1/(t^2+1)^2}'dt≠2dt/(t^2+1)^3

であることと

　=g(f^{-1}(x))dx
⇔=g(t)×2tdt/(t^2+1)^2

の部分で、xでの積分をtで積分するとき、積分区間が変化して、0～u→0～u^2/1+u^2（∵x＝t＾2/1+t^2）

だとおもうんですが・・・。どうでしょう？
それに正確な図はかけなくともおおよその図を描いてみると、面積が39/4-3π≒0.33てことにはならない気がします。

あとこれはこちらの書き方が悪かったのですが、解答というよりも出典の方が聞きたかったというか・・・。申し訳ないです。