数学の２次関数について

質問

数学２次関数について

以下の問題で質問があります。
放物線ｙ＝x^2+2ax+b・・・・(1)
をｘ軸方向に２、ｙ軸方向にー１だけ平行移動すると、点（１、－２）を通るという。
このとき次の問いに答えよ。
（１）ｂをaを用いて表せ。
この解答はｂ＝－２a－３ でよろしいでしょうか？
（２）放物線(1)の頂点のｙ座標がー５になるとき、aの値を求めよ。
この問題が放物線(1)の式を平方完成してｙ座標の式＝－５にしたら良いと考えたんですけど、計算の仕方がおかしいのか解の公式でしかとけない答えになります＾＾；

（３）放物線(1)とｘ軸との２つの交点をＰ，Ｑとする。点Ｐ，Ｑのｘ座標がともに２以下であるようにaの値の範囲を求めよ。
また、線分Ｐ，Ｑの長さが√５以下となるaの値の範囲を求めよ。

どうか解答解説をお願いいたします。

回答No.1

info22_

[1]
>この解答はｂ＝－２a－３ でよろしいでしょうか？
間違ってます。

ｙ＝x^2+2ax+b …(1)
をｘ軸方向に２、ｙ軸方向にー１だけ平行移動すると
　y-(-1)＝(x-2)^2+2a(x-2)+b
これが点（１、－２）を通ることからこの座標を代入しても式が成り立つ。
　-2+1=(1-2)^2 +2a(1-2)+b
-1=1-2a+b
∴b=2a-2 …(2)

[2]
>放物線(1)の頂点のｙ座標がー５になるとき、aの値を求めよ。

(1)に(2)を代入して
　y=x^2+2ax+2a-2 …(3)
平方完成すると
y=(x+a)^2 -a^2+2a-2　…(4)
頂点のy座標は
-a^2+2a-2=-5
整理して
　a^2-2a-3=0
(a-3)(a+1)=0 ∴a=-1またはa=3 …(5)

[3]
P,Qのx座標がともに２以下であるための必要十分条件は
(4)から

軸x=-a＜2
頂点のy座標-a^2+2a-2=-(a-1)^2-1＜0　(常に成立)
x=2におけるyの値(2+a)^2-a^2+2a-2=6{a+(1/3)}≧0

となる。これらの条件から
点Ｐ，Ｑのｘ座標がともに２以下であるようにaの値の範囲は
　∴a≧-1/3

またP,Qのx座標p,qは(3)から
　x^2+2ax+2a-2=0の2つの解だから、解と係数の関係から
p+q=-2a, pq=2a-2

したがって
線分PQ=√(p-q)^2=√{(p+q)^2-4pq}=√{4a^2-8a+8}=2√(a^2-2a+2)≦√5
二乗して
　4(a^2-2a+2)≦5
整理して
　4a^2-8a+3=(2a-3)(2a-1)≦0 ∴1/2≦a≦3/2