数学の問題です。

質問

数学が得意な方教えて下さい。

放物線ｙ＝ｘ２乗－２ｘとｘ軸で囲まれる部分Ｆの面積はア／イである。

直線ｙ＝ａｘがＦの面積を２等分するとき、ａ＝3√ウ－エである。

また、放物線ｙ＝ｘ２乗－２ｘと直線ｙ＝ａｘで囲まれる部分の面積をｘ軸が２等分するとき、ａ＝オ3√カ－キである。

ア～キは数字１字です3√の3は√の左上についてる3です。

よろしくお願いします。

回答No.1

entap

(1)放物線ｙ＝ｘ２乗－２ｘとｘ軸で囲まれる部分Ｆの面積

y=x^2-2xは、変形するとy=(x-1)^2-1となります。
幾何的には、(1,-1)を通り、傾き1の、上に開く放物線です。
x軸との交点は(0,2)です。(ここまではすぐに分かるでしょう。)

とすると、求める面積Fは、区間[0,2]における∫(-x^2+2x)dxとなります。
(なぜ積分を使うのか分からない場合は、微積分を復習してください。)
(y=0からy=(x-1)^2-1を引いた式である-x^2+2xが積分のタネになります)
F:4-8/3=4/3
です。

(2)直線ｙ＝ａｘがＦの面積を２等分するとき、ａ

図を描いてみれば分かりますが、y=axは原点を通る負の直線です。
また、y=axとy=x^2-2xの交点の一方は原点0で、もう一方は(2,0)より左にありそうです。
ですから、(y=ax)-(y=x^2-2x)の式である-x^2+x(2+a)が積分のタネ、求める区間は[0,a+2]となります。
(x^2-x(2+a))を変形すると、交点は0,2+aと分かります)
∫(-x^2+x(2+a))dx[0,2+a]の値が2/3であればいいので、
1/6(2+a)^3=2/3。
(2+a)^3=4
両辺を三乗根して、
2+a=(4)^1/3(※(3)√は分かりづらいので、4^1/3と表記します。)
a=(4)^1/3-2 (4の三乗根-2)
です。

(3)また、放物線ｙ＝ｘ２乗－２ｘと直線ｙ＝ａｘで囲まれる部分の面積をｘ軸が２等分するとき
ちょっと書いてある内容が分かりづらいですが、今度はy=axが正の直線です。
図を描いてみれば分かりますが、a+xが2より大きい場合、(y=ax)-(y=x^2-2x)をy=0が分割します。
従って、∫(-x^2+x(2+a))dx[0,2+a]の値が、Fの2倍、3/8であればよいことになります。
1/6(2+a)^3=8/3。
(2+a)^3=16
両辺を三乗根して、
a=(16)^1/3-2 (16の三乗根-2)
16は2^4でもあるので、(16)^1/3=(2^3*2)^1/3と直せますから、
a=2(2)^1/3-2 (2と2の三乗根-2)

三乗根といわれると何となく警戒してしまいますが、カルダノの公式など三次方程式の解の公式を使わなくても解ける式になっているので、素直に問題文に当たれば解けます。