高校数学 積分の面積に関する問題

質問

ａ＞０とする。座標平面において、２点（０，－ａ＾２），（０，－（２ａ＋１）＾２）から放物線ｙ＝ｘ＾２に引いた接線で傾きが正であるものをそれぞれｍ，ｎとする。

（１）この放物線とｍ，ｎで囲まれる部分の面積Ｓを求めよ。

（２）ｍ，ｎおよびｙ軸で囲まれる部分の面積をＴとするとき、Ｓ：Ｔ＝４：２７となるようなａの値を求めよ。

答：（１）（ａ＋１）＾３／１２

　　（２）ａ＝１／３

　　この途中式がわかりません。よろしくお願いします。

回答No.2

ferien · ベストアンサー

＞ａ＞０とする。座標平面において、２点（０，－ａ＾２），（０，－（２ａ＋１）＾２）から
＞放物線ｙ＝ｘ＾２に引いた接線で傾きが正であるものをそれぞれｍ，ｎとする。

接線ｍの接点をＰ１（ｐ1，ｐ1^2）、接線ｎの接点をＰ２（ｐ2，ｐ2^2）とする。
（Ｐ１，Ｐ２はｙ＝ｘ^2上の点で、ｐ1＞０，ｐ2＞０）
ｙ'＝２ｘより、ｍの傾き＝２ｐ1，ｎの傾き＝２ｐ2
接線ｍ：ｙ＋ａ^2＝２ｐ1（ｘ－０）より、ｙ＝２ｐ1ｘ＋ａ^2
接線ｎ：ｙ＋（２ａ＋１）^2＝２ｐ2（ｘ－０）より、ｙ＝２ｐ2ｘ＋（２ａ＋１）^2
Ｐ１はｍ上の、Ｐ２はｎ上の点だから、
ｐ1^2＝２ｐ1・ｐ1＋ａ^2　より、ｐ1^2＝ａ^2だから、
接線ｍ：ｙ＝２ｐ1＋ｐ1^2
ｐ1＞０だから、ｐ1＝ａ（ａ＞０）…（１）
ｐ2^2＝２ｐ2・ｐ2＋（２ａ＋１）^2より、ｐ2＝（２ａ＋１）^2だから、
接線ｎ：ｙ＝２ｐ2ｘ＋ｐ2^2　
ｐ2＞０だから、ｐ2＝２ａ＋１（＞０）…（２）

＞（１）この放物線とｍ，ｎで囲まれる部分の面積Ｓを求めよ。
接線ｍとｎの交点を求める。（ｘ0，ｙ0）とすると、
２ｐ1ｘ＋ｐ1^2＝２ｐ2ｘ＋ｐ2^2より、
よって、ｘ0＝(1/2)（ｐ1＋ｐ2）…（３）
Ｓ＝∫［ｐ1～ｘ0］｛ｘ^2－（２ｐ1ｘ＋ｐ1^2）｝ｄｘ
　　　＋∫［ｘ0～ｐ2］｛ｘ^2－（２ｐ2ｘ＋ｐ2^2）｝ｄｘ
積分して整理すると、
＝（ｐ2－ｐ1）・ｘ0^2－（ｐ2^2－ｐ1^2）・ｘ0＋(1/3)（ｐ2^3－ｐ1^3）
＝(ｐ2－ｐ1）・(1/12)（ｐ2－ｐ1）^2
＝(1/12)（ｐ2－ｐ1）^3
＝(1/12)（２ａ＋１－ａ）^3　…（１）（２）より、
＝(1/12)（ａ＋１）^3
よって、Ｓ＝（ａ＋１）^3／２

＞（２）ｍ，ｎおよびｙ軸で囲まれる部分の面積をＴとするとき、Ｓ：Ｔ＝４：２７となるような
＞ａの値を求めよ。
Ａ（０，－ａ^2），Ｂ（０，－（２ａ＋１）^2），
接線ｍとｎの交点Ｃ（ｘ0，ｙ0），Ｃからの垂線とｙ軸の交点をＤ（０，ｙ0）とする。
（１）～（３）より、
ｘ0＝(1/2)（２ａ＋１＋ａ）＝(1/2)（３ａ＋１）
△ＢＣＤ＝(1/2)×ＣＤ×ＢＤ＝(1/2)×ｘ0×｛ｙ0＋（２ａ＋１）^2｝
△ＡＣＤ＝(1/2)×ＣＤ×ＡＤ＝(1/2)×ｘ0×（ｙ0＋ａ^2）
Ｔ＝△ＢＣＤ－△ＡＣＤ
＝(1/2)×ｘ0｛ｙ0＋（２ａ＋１）^2－ｙ0－ａ^2｝
＝(1/2)×(1/2)（３ａ＋１）（３ａ^2＋４ａ＋１）
＝(1/4)（３ａ＋１）^2（ａ＋１）
Ｓ：Ｔ＝４：２７より、
(1/12)（ａ＋１）^3：(1/4)（３ａ＋１）^2（ａ＋１）＝４：２７
（３ａ＋１）^2（ａ＋１）＝(9/4)（ａ＋１）^3
４（３ａ＋１）^2＝９（ａ＋１）^2
２７ａ^2＋６ａ－５＝０
（９ａ＋５）（３ａ－１）＝０
ａ＞０だから、ａ＝１／３

図を描いて、計算を確認してみて下さい。

お礼

回答ありがとうございました。

回答No.3

asuncion

＞設問2
＞T=∫[x=0～(3a+1)/2]{2ax-a^2-(2(2a+1)x-(2a+1)^2)}dx
＞=∫[x=0～(3a+1)/2]{-2(a+1)x+(a+1)(3a+1)}dx
＞=[x=0～(3a+1)/2][-(a+1)x^2+(a+1)(3a+1)x]
＞=-(a+1)(3a+1)^2/4+(a+1)(3a+1)^2/2
＞=(a+1)(3a+1)^2/4

わざわざ積分することはなかったですね。
設問1の回答で、接線mとnの交点のx座標を求めているので、
Tは、線分ABを底辺とし、高さが接線mとnの交点のx座標である三角形の面積として
計算できますね。
よって、
T={(2a+1)^2-a^2}(3a+1)/4
=(3a^2+4a+1)(3a+1)/4
=(a+1)(3a+1)^2/4

お礼

回答ありがとうございました。

回答No.1

asuncion

点A(0,-a^2)、点B(0,-(2a+1)^2)とする。
接線mが放物線と接する点Mを(s,s^2)、接線nが放物線と接する点Nを(t,t^2)とする。
このとき、
mの式は、y-s^2=2s(x-s)より、y=2sx-s^2 …… (1)
nの式は、y-t^2=2t(x-t)より、y=2tx-t^2 …… (2)
(1)は点Aを通るので、-a^2=-s^2より、s=a
よって、(1)はy=2ax-a^2 …… (3) となる。
また、(2)は点Bを通るので、-(2a+1)^2=-t^2より、t=2a+1
よって、(2)はy=2(2a+1)x-(2a+1)^2 …… (4) となる。
(3)(4)の交点のx座標は、2ax-a^2=2(2a+1)x-(2a+1)^2より、
2(a+1)x=4a^2+4a+1-a^2=3a^2+4a+1=(a+1)(3a+1)
a>0なので、両辺をa+1で割れる。
x=(3a+1)/2
S=∫[x=a～(3a+1)/2]{x^2-(2ax-a^2)}dx+∫[x=(3a+1)/2～2a+1]{x^2-(2(2a+1)x-(2a+1)^2)}dx
=[x=a～(3a+1)/2][x^3/3-ax^2+a^2x]+[x=(3a+1)/2～2a+1][x^3/3-(2a+1)x^2+(2a+1)^2x]
={(3a+1)^3/24-a(3a+1)^2/4+a^2(3a+1)/2}-{a^3/3-a^3+a^3}+{(2a+1)^3/3-(2a+1)^3+(2a+1)^3}-{(3a+1)^3/24-(2a+1)(3a+1)^2/4+(2a+1)^2(3a+1)/2}
=-a(3a+1)(a+1)/4-a^3/3+(2a+1)^3/3-(2a+1)(3a+1)(a+1)/4
=-a(3a^2+4a+1)/4-a^3/3+(2a+1)^3/3-(2a+1)(3a^2+4a+1)/4
=(-3a^3-4a^2-a)/4-a^3/3+(8a^3+12a^2+6a+1)/3-(6a^3+8a^2+2a+3a^2+4a+1)/4
={(-9-4+32-18)a^3+(-12+48-33)a^2+(-3+24-18)a+(4-3)}/12
=(a^3+3a^2+3a+1)/12
=(a+1)^3/12

設問2
T=∫[x=0～(3a+1)/2]{2ax-a^2-(2(2a+1)x-(2a+1)^2)}dx
=∫[x=0～(3a+1)/2]{-2(a+1)x+(a+1)(3a+1)}dx
=[x=0～(3a+1)/2][-(a+1)x^2+(a+1)(3a+1)x]
=-(a+1)(3a+1)^2/4+(a+1)(3a+1)^2/2
=(a+1)(3a+1)^2/4
S:T=4:27より、(a+1)(3a+1)^2=9(a+1)^3/4
a>0なので、両辺を(a+1)で割って整理する。
4(3a+1)^2=9(a+1)^2
4(9a^2+6a+1)=9(a^2+2a+1)
27a^2+6a-5=0
a={-3±√(9+135)}/27=(-3±12)/27=1/3,-5/9
a>0より、a=1/3

お礼

回答ありがとうございました。