正規母集団でないときの標本平均と標本分散の独立性

質問

こんにちは。

正規母集団であるとき、標本平均と標本分散の分布が独立であることは、直交変換によって証明することができますが、

非正規母集団であるときは、標本平均と標本分散の独立性は必ずしも成り立たないということでよろしいでしょうか。

また、正規分布以外の分布で、標本平均と標本分散が独立であるような母集団分布をご存知であれば教えて頂きたいのですが。

よろしくお願い致します。

回答No.2

takurinta · ベストアンサー

No.1です。
2次のモーメントが収束する分布ならとりあえずなんでもOKなのではと思いますが。
独立に同一の分布に従うX_iでは、任意のiについて
E(X_i) = μ (共通)
V(X_i) = σ^2 (共通)
Cov (X_i, X_j) = 0 (i≠j)
なので、正規分布で直交変換を使った証明をしたのなら、その議論がそのまま使えるのではないかと思います。

回答No.3

noname#227064

> 母集団からm個のサンプルx1～xmを無作為抽出します。このとき、x1～xmは独立同分布となります

まずはm = 2のときで考えてみてはいかがでしょうか。
そうすれば、必ずしも独立にはならないということがわかりやすくなるかと思います。

> 非正規母集団であるときは、標本平均と標本分散の独立性は必ずしも成り立たないということでよろしいでしょうか。

iidである母集団からの標本平均と標本分散が独立になるのは正規分布であるときだけではないかと思い検索してみたところ、こういうもの（参考URL）を見つけました。
参考にしてください。

参考URL：

http://www.springerlink.com/content/g1460744g251v411/

回答No.1

takurinta

標本平均と標本分散の独立性は正規分布からではなくて、iid (独立に同一の分布に従う) から導出するのではなかったでしょうか。つまり、分布はなんでも良くて、データを同一の分布から独立に取ってきたのであればいいのではないかと思います。

補足

ご回答ありがとうございます。言葉足らずで申し訳ありませんでした。以下のように質問を訂正致します。

母集団からm個のサンプルx1～xmを無作為抽出します。このとき、x1～xmは独立同分布となります。このとき、もしx1～xmが正規分布であれば、標本平均と標本分散の分布が独立であることは、直交変換によって証明することができますが、

母集団が正規分布でない（すなわち、x1～xmが独立同分布で正規分布でない）ときでも、標本平均と標本分散の独立性は成り立つのでしょうか。

もし成り立つのであれば、その証明法のアプローチを教えて頂けるとありがたいです。

よろしくお願い致します。