正規分布からの標本

質問

正規分布からの標本
母平均・母分散・がわかっている正規母集団からある大きさnの標本を抽出したとき、どのようにして標本平均が存在する場の確立を求めるのでしょうか？

例えば、母平均μ=4、母分散σ^2=15の正規母集団から大きさn=10の標本を抽出したとき、標本平均Xが3と6の間にある確率は？　という感じです。

また、この問題に付随して標準分散s^2がaを超える確率が0.05となるような定数aの値を求めよ。というときに、どのようにして定数aを求めるのでしょうか。

回答No.1

Anti-Giants · ベストアンサー

X(1),...X(n) を平均μ、分散σ^2の独立同分布の確率変数
S(n) = (X(1) + ... +X(n))/n
Pr[3≦ S(n) ≦ 6]
この確率を求めればいいんじゃない？
S(n)は平均μで、分散がσ^2/nの正規分布。
あとは正規化して、正規分布表から求める。

標準分散ってなんですか？
標本分散のことですか？
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A8%99%E6%BA%96%E5%81%8F%E5%B7%AE
（標本分散の定義）
T = ((X(1)-E[S(n)])^2 + ... +(X(n)-E[S(n)])^2)/n
Pr[a < T] = 0.05
これを満たすaを求めればいいんじゃないかな。
左辺 = Pr[an/σ^2 < T/σ^2]
U(n) = nT/σ^2は、自由度 n のカイ二乗分布に従う。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AB%E3%82%A4%E4%BA%8C%E4%B9%97%E5%88%86%E5%B8%83
（カイ二乗分布の定義）
で、あとはカイ二乗分布表を検索してもとめる。
自由度(df、この場合n)とp値があって
Pr[p < U(n)] = 表の値.
を表にしたのが下のサイトの表。
http://bstat.f7.ems.okayama-u.ac.jp/statedu/table/index.html#chi2
この表のdf=10の0.05の値がan/σ^2ということ。

多分あってると思うけど、自分で確認してね。

お礼

ご丁寧にありがとうございました。
サイトまで教えていただき、大変参考になりました。