Ｘ,Ｙは無作為標本で母平均をμ、母分散をσ＾２（シグマの２乗）とする。

質問

Ｘ,Ｙは無作為標本で母平均をμ、母分散をσ＾２（シグマの２乗）とする。

aＸ＋bＹがμの不偏推定量で、その分散を最小にするa,b　の値を求めよ

という問題が分かりません。

私なりに考えてみたものの、

正規母集団からの標本分布がＮ（aＸ＋bＹ,σ＾２/２）になることしか分かりません。あってますか？？

どなたか分かりやすく教えて下さい。

回答No.1

jamf0421 · ベストアンサー

そもそも正規分布しているものかもわからないのでは？
一般に期待値が離散変数について
E[X]=Σxipi...(1)
のようにあらわせるのはよいですね。xiは変数のとる値であり、piはその値が出てくる確率です。この場合は期待値は平均値になっています。n個の集合についてすべてのpiが等しくて(1/n)ならば(1)は標本の総和をnで割る形になっています。平均値をμとして、
E[(X-μ)^2]=Σpi(xi-μ)^2=σ^2...(2)
となり標準偏差になっているのもO.K.ですね。この計算の性質上
E[(X-μ)^2]=E[X^2-2μX+μ^2]=E[X^2]-2μE[X]+μ^2=E[X^2]-2μ^2+μ^2=E[X^2]-μ^2...(3)
になります。(2),(3)から
E[X^2]-μ^2=σ^2
となります。更にもしXとYが互いに独立であるならば
E[XY]=E[X]E[Y]...(4)
というのは、互いに独立な変数ということの定義です。

さて問題に入ります。
E[aX+bY]=aE[X]+bE[Y]=aμ+bμ=(a+b)μ...(5)
これがμに等しいというのですから
a+b=1...(6)
です。分散はμがaX+bYの期待値（平均値）でありますのでaX+bYの分散をSと書けば、
S=E[(aX+bY-μ)^2]=E[a^2X^2+b^2Y^2+μ^2+2abXY-2aXμ-2bYμ]
=a^2E[X^2]+b^2E[Y^2]+μ^2+2abE[XY]-2aμE[X]-2bμE[Y]...(7)
ここでE[X^2]=μ^+σ^2、E[XY]=E[X]E[Y]=μ^2などを使っていきます。
S=(a^2+b^2)(μ^2+σ^2)+μ^2+2abE[X]E[Y]-2aμ^2-2bμ^2
=(a^2+b^2)(μ^2+σ^2)+μ^2+2abμ^2-(2a+2b)μ^2...(8)
(6)よりa^2+b^2=(a+b)^2-2ab=1-2ab
S=(1-2ab)(μ^2+σ^2)+μ^2+2abμ^2-2μ^2
=(1-2ab)(μ^2+σ^2)+(2ab-1)μ^2
=(1-2ab)σ^2...(9)
となります。ここでまた(6)を使えば
S=(1-2a(1-a))σ^2=(1-2a+2a^2)σ^2...(10)
となります。1-2a+2a^2の最小値を求めるのは容易で、たとえばこれを微分すれば-2+4aですからa=1/2で最小となります。この時b=1/2です。そして(10)よりS=(1/2)σ^2になります。なんだか当たり前の結果ですが。