有限母集団の中心極限定理

質問

訳あって確率統計の勉強をしておりますが、中心極限定理について質問があります。
「母集団の平均をm、分散をvとすると、そこから抽出したn個の標本の平均の分布は、平均m、分散v/nという分布になり、標本数をn→無限大とすると、分布は母集団の分布によらず正規分布に近づく。」
とありますが、母集団が有限個（N個）の集合ならどうなるでしょうか。
その場合、標本数をnがNに等しくなった時点で平均はm、分散0、つまり標本から母集団の平均が完全に推定（決定）することになります。
●有限母集団の場合も中心極限定理は成り立つのか？
●成り立つならn→Nで分散が0になるという点はどう表現されるのか？
このあたりを教えてください。

回答No.2

oldperson

標本数をnがNに等しくなった時点で分散0になりません
例えば母集団が{0,1}の場合、標本数を2個にすると
0,0になる確率は1/4
0,1になる確率は1/2
1,1になる確率は1/4
となり、平均は0.5、分散は0.125となります。
標本を取り出すという事象は、独立な事象を仮定しているのであって、
標本を取り出したからといって、母集団が変化するわけではありません。

補足

回答ありがとうございます
しかし、釈然としません。こちらの抱いているイメージが間違っているのでしょうか。
有限個の母集団からサンプルというのは、例えば全日本人の身長のようなもの（つまり１億２０００万個の数字の集合）から、適当に選びだす、、というイメージです。
つまり、回答にありました{0,1}という母集団であれば、壷の中に２個のボールがあり、それぞれに０と１と書かれている。そこから２個取り出せば、間違いなく０と１なのでその平均は０．５．何回試行したところで常に平均は０．５．つまり平均０（これは母集団の平均に一致）で分散は０．ということです。
「標本を取り出すという事象は、独立な事象を仮定している」というあたりを私は理解していないのでしょうか。

回答No.1

Meowth

Wikiの説明を借りれば、
以上のような具体的な母集団は有限であるが、数学的な便宜上、無限大の要素からなる母集団を仮定する方法をとる事がほとんどである。ある分布を仮定した母集団から有限のn個からなる標本（大きさまたはサイズnの標本という）を取り出すものとし、これから逆に確率論的に母集団を推定する訳である。
となります。

中心極限定理の記述の仕方にもよりますが、
簡単な表現でいえば、独立な独立事象の列または、独立確率変数列　X1,X2,X3....
として、
Sn=X1+X2+...Xn
から、
Tn＝｛Sn-E(Sn）｝/sqrt(V(Sn))
が正規分布N(0,1)に近づく
というような表現ではないでしょうか。
母集団が有限だと、独立確率変数列がなりたたなくなりませんか。

有限母集団の場合も中心極限定理は成り立つのか？
→　成り立ちません。
では。

お礼

お礼はこちらにするのでした。失礼しました。
回答ありがとうございました。

補足

早速の回答をありがとうございました。
しかし成り立ちませんか、、、
例えば日本人全員の身長を母集団として、
１００人サンプルを持ってきては平均を取る（もちろんサンプルの抽出は理想的な無作為抽出）、、、これを繰り返して分布を作成。
次は１０００人で同様の操作、１００００人で同様の操作、、、正規分布に近づくような気がしますが、そんなには甘くはないですか。
残念（？）です。