標本平均の二乗の分散とは

質問

成功確率ｐのベルヌーイ分布に従う確率変数X1,X2,,,,Xnはそれぞれ独立であるときこの標本平均Y=（X1+X2+,,,,+Xn)/nを標本平均といいますが、このときY^2の分散を求めたいのですがいいアイデアはありますか？？ありましたら教えてください。

回答No.1

---------- · ベストアンサー

P(X=1)=p,P(X=0)=1-pなので、
E[X]=p,E[X^2]=p,V[X]=p(1-p)は単純計算でチェックできると思います。

これから、E[Y]=pはすぐにチェックでき、
あとは、E[(Y-E[Y])^2]を計算するだけですが、
E[(Y-E[Y])^2]
=E[(Y-p)^2]
=E[Y^2 - 2Yp +p^2]
=E[Y^2]-p^2
なので、Y^2の平均が計算できれば解けます。
Y^2をXの式で書き直して、
X^2の部分と、X_iX_jの部分に分けて計算します。
X^2の部分は一番初めに計算したからそれを使い、
X_iX_jは独立であることから、
E[X_iX_j]=E[X_i]E[X_j]=p^2と変形できます。

以上の計算をまとめれば答えになります。
細かな計算やチェックは勉強のため自分でがんばってください。