標本平均値の分散

質問

平均μ、分散σ^2の母集団からとられた標本数nの標本平均値x￣(エックス・バー)の平均値はμということは、理論的にも感覚的にもだいたいわかりますが、標本平均値の分散がσ^2/n(母集団の分散を標本数nで割った値)になるのかは、nが多いと母集団の平均値に近い標本がとれる確率が高くなるからなど、感覚的にはある程度(ほんとうにある程度…)わかりますが、理論的にはほとんどわかりません。どなたかなぜ標本平均値の分散がσ^2/nになるのか、特に理論的にお教えいただけないでしょうか? 本などを見ても、このことを理論的にわかりやすく説明した本は少なく、実際に実験してみたらそうなるからとか、あいまいな説明しかありません。
ちなみに数学はあまり得意じゃありません。

回答No.2

at9_am · ベストアンサー

＃１です。補足します。

確率変数 X の期待値をμとします。すると分散は
var(X) = E[(X-μ)^2]
と定義されます。ここから Z=aX+b の分散を考えると、
E[Z] = E[aX+b] = aμ+b
から
var(Z) = E[(Z-E[Z])^2]
= E[{(aX+b)-(aμ+b)}^2]
= E[a^2(X-μ)^2]
= a^2 E[(X-μ)^2] = a^2 var(X)
となります。

それから、一点訂正。
×　X,Y を確率変数として
○　X,Y を独立な確率変数として

お礼

2度にもわたる大変詳しい回答をどうもありがとうございました。
var[x~] = var[1/n Σx_i] = (1/n)^2 Σvar[x_i] = (1/n)^2 × nσ^2 = 1/n σ^2
の式はいくつかの参考書で見ましたが、いずれも1/n σ^2にたどり着くまでの途中の詳しい式が書かれていなかったので大変助かりました。だからこんなに詳しい説明は初めてです。これでようやく疑問が解決しました。本当にありがとうございました。

補足

>○　X,Y を独立な確率変数として

そうでしたね。でないとXとYの共分散が0にならず
var(X+Y) = var(X)+var(Y)
が成立しませんので。

回答No.1

at9_am

n 個の標本から作られた標本平均値 x~は
E[x~] = E[1/n Σx_i]
= 1/n ΣE[x_i]
= 1/n×nμ = μ
となり、平均値の期待値は母平均と一致します。分散は
var[x~] = var[1/n Σx_i]
= (1/n)^2 Σvar[x_i]
= (1/n)^2 × nσ^2 = 1/n σ^2
となり、平均値の分散は母分散を標本数で割ったものと一致します。

因みに、X,Y を確率変数として、
var(aX+b) = a^2 var(X)
var(X+Y) = var(X)+var(Y)
であることが知られています。

お礼

ありがとうございました。疑問が解決して大変すっきりしました。

補足

早速のご回答ありがとうございます。
標本平均値の平均はわかりますが、分散の
var(aX+b) = a^2 var(X)
がなぜ成り立つのかが考えてはみたものの未だにわかりません。右辺でbが消えているのも不思議です。