高校数学についてお聞きします

質問

ｘ>２のとき、ｘ＋１╱(ｘ－２)の最小値を求めよ

この問題の詳しい解説をどなたかお願いします！
ちなみに答えは4です

回答No.7

naniwacchi

#2です。

「平行移動」した後、使う「数I」とは相加・相乗平均のことなので、
単元どおりですし、#6さんの内容と同じになります。
（分母が x-2ではわかりにくいので、置き換えたことを「ずらした」と書いたまでです）

微分の方も計算してみて同じ結果が得られることは、見ておいてもいいと思います。

回答No.6

mister_moonlight

相加平均・相乗平均をつかうにしても、次のようにすると簡単。
置き換えは、時として、問題を簡単にしてくれる。　

ｘ－2＝tとする。ｘ＞2　より　t＞0
相加平均・相乗平均から　ｘ＋1╱(ｘ－2)＝(t+2)＋1/t＝(t＋1/t)＋2≧2＋2＝4.　等号成立は、t＞0より　t＝1/t　→　t＝1　→　ｘ＝3　の時。

回答No.5

mister_moonlight

まあ、一見して、相加平均・相乗平均の問題だとわかるんだが、方法はそれだけではない。
判別式だけでも片付く。

x＋1/(x-2)＝kとして分母を払うと、x＾2-(2+k)x+(2k+1)＝0　‥‥(1)　xは実数から判別式＝k(k-4)≧0
k＞0は自明だから、k≧4　この時、(1)から、x＝3。
以上より、x＝3の時、最小値は4.

回答No.4

WiredLogic

どの範囲の問題かは書いておいた方が、より適切な回答がかえってくると思いますが…

とりあえず、数学II、相加平均・相乗平均の問題だと、想定してやってみます。

相加平均・相乗平均の典型問題、
x＞0 のとき、x + 1/x≧2√(x * 1/x) = 2、
は、大丈夫ですよね。

x>2 のとき、x + 1/(x-2) は、このまま、上のようにやろうとしても、破綻します。
√の中身が、x * 1/(x-2) で、未知数が残ってしまうのが、残念なポイント、

で、あれば、(x-2) * 1/(x-2) ならば、1 にできるのは、すぐに見えるところ、
しかもうまい具合に、x-2>0 で、相加平均・相乗平均が使えるようになっています。
(でなければ問題にならない訳だけど^^)

なので、

x>2、すなわち、x-2>0 であるから、
x + 1/(x-2) = 2 + (x-2) + 1/(x-2) ≧ 2 + 2√…
とやれば、後は明らかですよね。

回答No.3

さゆみ（@sayumi0570）

Y=　Ｘ　＋　１/（ｘ－２）

Ｙ’＝１－１/（ｘ－２）＾２

Ｙ’＝０　になるのは　Ｘ＝１，３

Ｘ　　　　　　３　　
Ｙ’　　－　　０　　＋
Ｙ　　　　　　４　　

Ｘ＝２が漸近線なので、２より大きな範囲ではＵの形

その一番下の部分がＸ＝３　　のとき４

回答No.2

naniwacchi

こんばんわ。

一番「ベタな」方法は微分することですが、
まだ習っていないかもしれませんね。

そこで、一度「平行移動」してしまうことを考えてみます。
（x＝ 2という漸近線を y軸までずらすという意味で）

t＝ x- 2とでも置いてみてください。
x＞ 2という条件は、t＞ 0と書き変わります。
これで式を書き換えれば、数Iの範囲で最小値は求められるようになります。

お礼

解答有難うございます！

一応微分は習いました
この問題は高校の宿題なので、数学IIIＡＢが混ざってるんですよ
先に書いておくべきでしたが、この問題は相加相乗平均のところだったんです
しかしながら、naniwacchiさんのおかげで新しい解答を知れました
有難うございます

回答No.1

ogichon

条件として、x＞２であることをふまえ、ｘに代入してみる。

ア…ｘ＝３の場合、ｘ＋１╱(ｘ－２)の値は4。　

イ…ｘ＝４の場合、ｘ＋１╱(ｘ－２)の値は４.５。

ウ…ｘ＝５の場合、ｘ＋１╱(ｘ－２)の値は５+１／3

xに３，４，５と正数を入れていくと徐々にｘ＋１╱(ｘ－２)の値は上がっていくことがわかる。

よって、最小値はｘ＝３のときでｘ＋１╱(ｘ－２)の値が４である。

わからない部分あれば、追記しますよ。

お礼

解答有難うございます！

ああ、地道にするのもあるのですね…
新しい解答を知れました＾＾
有難うございます