高校数学の問題

質問

直線l:4x-3y-7=0と、円K:(x-t)^2+{y-(3t-4)}^2=10t^2-30t+25との交点をP,Qとする。
線分PQの長さが最小となるときのtの値を求めよ。

答えはt=14/9なんですが
アプローチの方法までも理解できません。

できるだけわかりやすく解説していただけませんでしょうか？

回答No.1

riddle09 · ベストアンサー

円Ｋの中心は(t,3t-4)だから、直線Ｌとの距離は公式より
｜4t-3×(3t-4)-7｜/√(4＾2+3＾2)＝｜t-1｜
円の半径は√(10t^2-30t+25)だから、三平方の定理より
ＰＱ/2＝√{(10t^2-30t+25)-(t-1)＾2}
　　　＝√(9t^2-28t+24)
　　　＝√{9(t-14/9)＾2+20/9}
よって線分ＰＱは、t=14/9のとき最小値4√5/3をとる。

お礼

三平方の定理を使うんですね…。
とてもわかりやすいご回答に感謝します。
本当にありがとうございました。