高校数学

質問

方程式x^2-2x+2=0の2解をα、βとする時、

β/α^2+α/β^2の値を求めよ。

と、いう問題が解けなくて困っています。

答えは-1です。
どなたか解説お願いします。

回答No.5

birth11 · ベストアンサー

そもそも、解と係数の関係とは、2つの解をα、βとした時、

二次方程式 ( x - α ) ( x - β ) = 0 の 2つの解のことです。つまり、

x^2 - ( α+ β ) x + α β = 0 の方程式が成り立ちます。問題の

x^2 - 2 x + 2 = 0 と係数を見比べると、

α + β = 2、α β = 2 となる。…………………(1)

β / α^2 + α / β^2 = ( α^3 + β^3 ) / ( α β )^2…………………(通分してひとまとめに)
= ( α + β ) ( α^2 - α β + β^2 ) / ( α β )^2………(因数分解の定理)
= ( α + β ) ( α^2 + 2α β + β^2 - 3 α β ) / ( α β )^2……………( ( α + β )^2 ができるように式を変形)
= ( α + β ) { ( α + β )^2 - 3 α β } / ( α β )^2
= 2 ・( 2^2 - 3・2 ) / 2^2………………((1)から数値を代入))
= 2・( 4 - 6 ) / 4 = 2・( - 2 ) / 4 = - 1………(答)

お礼

わかりやすい解説をありがとうございました。

回答No.6

mister_moonlight

正直に計算する必要もない。解と係数は使う。

β/α^2+α/β^2＝(α＾3＋β＾3)/(αβ)＾2＝(α＾3＋β＾3)/4　と、ここまでは同じ。
分子の計算は　考えよう。基本は“次数を下げる”ことにある、これは定石と言ってよい。

x^2＝2x-2　だから　x^3＝2x＾2-2x＝2(2x-2)-2x＝2x-4.これは　αとβについて成立する。
分子＝α＾3＋β＾3＝(2α-4)＋(2β-4)＝2(α＋β)-8＝-4.
従って、(α＾3＋β＾3)/4＝-1.

回答No.4

asuncion

まあそりゃ
β / (α^2)
ですよね。
失礼しました。

回答No.3

ereserve67

解と係数の関係より

α+β=αβ=2

∴与式=β/α^2+α/β^2=(α^3+β^3)/(αβ)^2={(α+β)^3-3αβ(α+β)}/(αβ)^2
=(2^3-3・2・2)/2^2=-4/4=-1

となります．

回答No.2

ferien

＞方程式x^2-2x+2=0の2解をα、βとする時、
解と係数の関係より、
α＋β＝２，αβ＝２

＞β/α^2+α/β^2
＝（β^3＋α^3）／（αβ)^2
β^3＋α^3＝（β＋α）（β^2－βα＋α^2）
ここで、
β^2－βα＋α^2＝（α＋β）^2－３αβ＝２^2－３×２＝－２
β^3＋α^3＝２×（－２）＝－４
よって、
β/α^2+α/β^2＝－４／２^2＝－１

計算を確認してみて下さい。

回答No.1

asuncion

^2
の部分は、どこからどこまでにかかっていますか？
β/(α^2)
と解釈すればいいのですか？それとも、
(β/α)^2
と解釈すればいいのですか？