数学の二次関数

質問

数学の問題を解いていると
「aはa>1を満たす定数とする。関数y=－2×(xの２剰)+８x+１(１≦x≦a)についての最小値を求めよ」という問題があり、答えを見ると「1<a<3のときx=1で最小値7」と「a=3のときx=1,3で最小値7」と
「3<aのときx=aで最小値-2×(aの２剰)+8a+1」となっています。
答えの3がどのようにして出てきたかがわかりません。教えてください。お願いします。

回答No.2

suko22 · ベストアンサー

頂点の座標は（2、9）で軸の方程式はｘ＝2ですよね。
グラフを書いて確認してください。

放物線は軸の方程式で表される直線に対して対称です。

定義域が1≦ｘ≦aで、軸がｘ＝2なので、

a=3で区切る必要があります。

わかりますか？

補足：放物線y=ax^2について軸はｘ＝0（ｙ軸）でこの軸に対して対称であるかを簡単に確認してみます。
　　　y=f(x)と置きます。
　　　f(d)=ad^2
f(-d)=a(-d)^2=ad^2
よってf(d)=f(-d)
だからy=ax^2は軸ｘ＝0に対して対称である。

　　　こんな感じで、一般にy=ax^2+bx+cはy=ax^2を平行移動しただけのグラフですから、
　　　軸の方程式に対して左右が対象であるといえます。

お礼

答えてくださってありがとうございます。あとでといてみるとうまく解けました。

回答No.1

Dr-Field

関数y=－2x^2+8x+1=-2(x-2)^2+9より、xがもし任意の実数をとるならば、このグラフは、x=2の時、最大値y=9をとる、上に凸な放物線であります。
しかし、1≦x≦a（但し、a＜１）という制限が付くので、それについて検討すると答えになります。

ここで、1＜a<3とか、a=3とか、3<aとかで3という数字が出てきた理由は、このグラフがx=2に対して線対称になるからで、片方のxの範囲のx=1に対して、x=2の軸に対象な点のx=3を特に吟味することになるからです。

もし「答えの3」が「3<aのときx=aで最小値-2×(aの２剰)+8a+1」のことを意味していた場合も、結局はその説明になります。

グラフを書いて確認してみてください。