y-xy´=√(1+(y´)^2)の解法に関して

質問

解法が分かりません、助けてください・・・orz

見た感じはクレローの微分方程式にみえますので、y´=ｔとしてみます。

y-xｔ=√(1+ｔ^2)
y=√(1+ｔ^2)+xｔ 両辺をxについて微分して、

y´= t + xt´ + {√(1+ｔ^2)}´・ t´
y´-t= xt´ + {t/√(1+ｔ^2)}t´

0=t´{x + t/√(1+ｔ^2)}

t´=0の時、t=C　　<Cは積分定数>
y=√(1+ｔ^2)+xｔ に代入して、y=√(1+ｔC^2)+xC

x=- t/√(1+ｔ^2)の時
y=√(1+ｔ^2)+xｔ に代入して、y=√(1+ｔ^2)‐t^2/√(1+ｔ^2)

y=(1+t^2)/√(1+ｔ^2)‐t^2/√(1+ｔ^2)=1/√(1+ｔ^2)
y=1/√(1+ｔ^2)

∴　y=1/√(1+(y´)^2)

y´が残っている時点で解になってないですよね・・・どうすれば良いのでしょうか？

お知恵をください。

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

A No.1 のように y'= の形に変形したら、
変数分離で積分しなくても、
最初の方程式へ代入して、
質問のように x を消す代わりに y' を消せば、
y=(xの式) の形になる。

お礼

ご回答、ありがとう御座います。

A No.1さんの解法で解を得ましたが、全体として長い式になってしまいました。その点が気になっていたのでさっそくalice_44さんの解法を試してみます！

回答No.1

WiredLogic

y=1/√(1+ｔ^2) を ｔ について解いて、
dy/dx = t = (yの式) と、変数分離形にするのは、どうですか？

お礼

ありがとう御座います！その方法で解けました。