x^2+y^2=aをｘについて微分すると

質問

陰関数の微分で2x+2ydy/dx=0からdy/dx=-x/yという計算は一次方程式の解法を知っていれば計算できてしまいますが、最後の式を微分方程式と見た場合、その答えはx^2+y^2=c（ｃは積分定数）となるのでしょうか。これが正しいとしても計算の仕方が分からないのですが・・・よろしくお願いいたします。

回答No.4

pascal3

計算の仕方は他の方が書かれているとおりで「変数分離の方法」で解けます。
その背後にいわゆる置換積分があることはNo.3の方が説明されているとおりです。

ただ、もしかすると
> この導関数を眺めても到底最初のx^2＋ｙ^2=aは想像できなかったのです。
というコメントから察するに、
イメージがつかめないということのほうが主眼かもしれないので、
そちらの観点からの補足説明を試みます。

微分方程式の解をイメージするために、
y軸上に適当な初期値 (0,c) を考え、ここに点Pを置きましょう。
この初期値からスタートして、Pの x座標を少しずつ増加させ、
それと同時に、
Δy = －(x/y) Δx
を満たすようにyも同時に変化させながらPを動かしていきます。
仮にPの動きが時間tでパラメータ表示できるとしましょうか。
このとき (Δx,Δy) = (u,v)Δt のように「速度」(u,v) を考えることができます。

ここで、
dy/dx = －x/y … （＊）
という情報が与えられていることから「速度」について何が言えるかを考えます。
この速度の大きさについては一般には何も分かりませんが、
速度の方向は u:v の比が分かれば決まり、その比は式（＊）から決まるわけですから、
式（＊）はPの動く方向についての情報を与えていると見ることができます。

図を描いてよく考えてみると、式（＊）は

「速度」の向きが直線OPと常に直交する

という条件であることが分かります。
この条件にしたがってPが動くならば、その軌跡は円（の一部）になることが想像できるでしょう。
円全体を360度にわたって再現するには、
初期値を変えたり速度を逆向きにしたりする必要がありますが、
ともかく式（＊）が円の微分方程式であることはイメージしていただけるかと思います。

回答No.3

matelin

以下の内容は、ANo1さんの補足です。

第２行目の式より、　ｙ（ｄｙ/ｄｘ）＝－ｘ
この式で、左辺はｘの関数であるとみなしてよいことは、わかりますか。なぜなら、ｙはｘの関数だし、従って（ｄｙ/ｄｘ）もｘの関数であるからです。ですから、上式の両辺はどちらもｘの関数ですから、それらをｘで積分することができるわけです。ｘで積分すると、
　　　∫{ｙ（ｄｙ/ｄｘ）}ｄｘ＝∫(－ｘ)ｄｘ　－－－＠
ところで上式の両辺はどちらもｘの不定積分です。
そのｘの不定積分とは、「変数ｘで微分すると、被積分関数（左辺では、{ｙ（ｄｙ/ｄｘ）}。右辺では、(－ｘ)。）になるような関数」というものです。
　右辺の不定積分は{(－1/2)*ｘ＾２}ですね。なぜなら、それを微分すると、(－ｘ)になるからです。
　左辺の不定積分を答えるには、合成関数の微分法を知っていなくてはなりません。合成関数の微分法は分かりますか。もし分かるなら、次の計算が成り立つことは理解できるはずです。
　ｄ｛1/2*ｙ＾２｝/ｄｘ＝ｙ（ｄｙ/ｄｘ）
このことより、ｙ（ｄｙ/ｄｘ）の不定積分は｛1/2*ｙ＾２｝であることが分かります。ゆえに、上の＠式から
　　(1/2)*y^2 = -(1/2)*x^2+積分定数
の式が出てくるわけです。

お礼

ご教示有難うございます。合成関数の微分は分かるというより中学程度の数学でdz/dx=dz/dy・dy/dxを分数の通分のように理解して、つぎにdy/dxをひとつの未知数のように考えて導関数を求めたような結果になったのです。そしてこの導関数を眺めても到底最初のx^2＋ｙ^2=aは想像できなかったのです。勉強します。

回答No.2

tuort_sig

全微分って知ってますか？dz＝(∂z/∂x)dx＋(∂z/∂y)dy←こんなんですけど。ほんで、x^2＋y^2＝aより、x^2＋y^2－a＝０として、z＝x^2＋y^2－aとおき、z＝０とします。ｚの微小変化dzはｚ＝０（ｘｙ平面）としますので０ですね。全微分の式にdz＝０を代入してdy/dx＝の形（つまり与式をｘについて微分した形）に変形するとdy/dx＝－(∂z/∂x)/(∂z/∂y)・・・(＊)となります。∂ってのは偏微分なので、x,y各々の偏導関数を求めてやるとそれぞれ∂z/∂x＝２x,∂z/∂y＝２y。(＊)に代入すると・・・はい、できあがり。

お礼

ご教示ありがとうございます。勉強させていただきます。

回答No.1

muroto_misaki

dy/dx=-x/y　⇔
y*dy = -x*dx

両辺を積分すると
∫y*dy = -∫x*dx　⇔
(1/2)*y^2 = -(1/2)*x^2+積分定数
x^2 + y^2 = C
（Cは積分定数）

これでどうでしょうか。

お礼

どうもありがとうございます。勉強いたします。