微分方程式

質問

練習問題を解いてみたのですが、あっているかどうかわからないので見てもらえないでしょうか？
個人的には出てきた答えが胡散臭い気がするのですが…

微分方程式　1+xp^2-tp^3=0,(p=dx/dt)を解け。

両辺tで微分して整理しますと
(3xp-3tp^2)(dp/dt)=0…(1)
また
1+xp^2-tp^3=0　より、p=0だから
xp=tp^2-(1/p)…(2)
(1)，(2)からxを消去して
(tp^3+2)(dp/dt)=0
が得られます。

ⅰ)tp^3+2=0のとき
p^3=-2/t　より
p=(-2)^(1/3)*t^(-1/3)
問題で与えられた微分方程式に代入して整理すると
(-2)^(2/3)*xt^(-2/3)+3=0
これは特異解でしょうか？

ⅱ)dp/dt=0　のとき
p=c， cは定数。
問題で与えられた方程式に代入して
1+(c^2)x-(c^3)t=0
これは一般解でしょうか？

さて、答えが胡散臭いと思った理由ですが、一般解をパラメーターで微分した式と一般解の式からパラメーターcを消去すると特異解が得られるはずですが、わたしが計算した限りそうなってくれないからです。

どなたかご教授お願いします。

回答No.2

minardi · ベストアンサー

(2x-3tp)p(dp/dt)=0から

i) 2x-3tp=0のとき
dx/dt-(2/(3t))x=0
x=at^(2/3)(ここでaは定数)となる
p=dx/dtより、p=(2/3)at^(-1/3)
このとき、xを与式　1+xp^2-tp^3=0に代入すると
1+at^(2/3)(4/9)a^2t^(-2/3)-t(8/27)a^3t^(-1)=0
1+(4/9)a^3-(8/27)a^3=0
1+(4/27)a^3=0
x=-(27/4)^(1/3)t^(2/3)が特異解

ii) dp/dt=0のとき
p=c(ここでcは定数)
またp=dx/dtより　x=ct+d(ここでdは定数)となる
このとき、xを与式　1+xp^2-tp^3=0に代入すると
1+(ct+d)c^2-tc^3=0
1+dc^2=0
となるので、x=ct-1/c^2(ここでcは定数)が一般解

iii) p=0のとき　(p=dx/dtよりx=c　(ここでcは定数)となる)
このとき、xは与式　1+xp^2-tp^3=0をみたさないようです。

以上より> 一般解
x=ct-1/c^2
とそれををパラメーターで微分した式
0=t+2c^(-3)
からパラメータcを消去すると
特異解x=-(27/4)^(1/3)t^(2/3)がでるようです。

お礼

ありがとうございました。

回答No.1

minardi

1+xp^2-tp^3=0,(p=dx/dt)
両辺tで微分して整理すると
p^3+x(2p)(dp/dt)-p^3-t{3p^2}(dp/dt)=0
(2x-3tp)p(dp/dt)=0
になるのではないでしょうか。

補足

ご指摘ありがとうございます。
すみません。タイプミスです。確かに
(2x-3tp)p(dp/dt)=0
になります。
それ以下の記述は正しい式を使ってあるはずなので、大丈夫だと思いますが…