(x^2)y-xy'+y=(x^2)について

質問

(x^2)y-xy'+y=(x^2)について

(１)x=e^t　とおくときyが満たすtに関する微分方程式を求めよ
(２)(１)の一般解を求めよ

という問題です。
ｘをただ代入してｙをtで表せばいいんでしょうか？
よろしくお願いします。

回答No.2

inara · ベストアンサー

＞ｘ をただ代入して ｙ を t で表せばいいんでしょうか？
x や x^2 のところは代入して
　　　 x = e^t、x^2 = e^(2*t) --- (0)
とすればいいですが、y'' と y' と y はそのままでは x の関数なので、それらを t の関数に直す必要があります。

それには合成関数の微分を使います。y は x の関数ですが、この x がさらに t の関数なら、 y を x で微分したものは
　　　y' = (dy/dt)*(dt/dx)
で表わされます。dy/dt を Y' と書けば
　　　y' = Y' *(dt/dx) --- (1)
となります。この問題の (1) は、与えられた微分方程式をこの Y を使った微分方程式に書き直せということです。

まず、問題文にあるように x = e^t ですから
　　　dx = e^t*dt
　　　→　dt/dx = e^(-t) --- (2)
となります。(2) を (1) に代入すれば
　　　y ' = Y' * e^(-t) --- (3)
となって Y' を t の関数で表すことができます。

では y'' のほうはというと、これは (1) を x で微分すればいいだけです（関数の積の微分法を使う）。すると
　　　y '' = Y'' *(dt/dx)^2 + Y' *d^2t/dx^2
になります。式(2)から dt/dx = e^(-t) ですから上式は
　　　y '' = Y'' *e^(-2*t) + Y' *d^2t/dx^2 --- (4)
になります。d^2t/dx^2 というのは式(2)を x で微分したものなので
　　　d^2t/dx^2 = -e^(-t)*dt/dx = -e^(-2*t) --- (5)
です。式(5)を(4)に代入すれば
　　　y '' = Y'' *e^(-2*t) - Y' *e^(-2*t) --- (6)
これで y'' も Y で表すことができました。

Y というのは y を t の関数で表したときの関数を表しているので
　　　y = Y --- (7)
です（ 正確に書くと y(x) = Y(t) ということになります。y を x で表したときと t で表したときは関数形が違うので違う記号を使っただけですが同じ関数を表しています）。

問題の（１）の答えは、上の(0)、(3)、(6)、(7) を元の微分方程式に代入したものです。その結果を整理すると、左辺は Y だけの関数、右辺は t だけの関数になるはずです。

問題（２）については、（１）の結果出てきた「2階の非斉次線形微分方程式」を解く問題です。それについてはここ（http://brain.cc.kogakuin.ac.jp/~kanamaru/lecture/difeq/difeq09-ans2.pdf）の問題３を参考にしてください。問題の（１）の微分方程式を解くと
　　　Y = e^(2*x) + C1*e^x + C2*x*e^x
になりますが、もともと x = e^t ですから、t = ln(x) を上式に代入して Y を y に書き換えたものが最初の微分方程式の解
　　　y = x^2 + C1*x + C2*x*ln(x)
になります。

お礼

ご丁寧にありがとうございます。
本当に助かりました。
ご挨拶が遅くなって申し訳ありません

回答No.1

inara

問題の微分方程式は正しいですか？
これを解くと誤差関数を含む式になってしまいますが・・

お礼

すみません、少し間違いました

補足

失礼しました。

(x^2)y''-xy'+y=(x^2)

です。二階微分を忘れていました。