4階の微分方程式の解き方を教えてください！

質問

問題で与えられる微分方程式は画像として添付しました。

(1) ｆ（ｘ）=0 のとき、この微分方程式の一般解
(2) ｆ（ｘ）=sinx のとき、この微分方程式の一般解

それぞれの求め方を教えていただけませんか？
自分で計算した結果
(1)y=(C1x+C2)cos2x+(C1x+C2)sin2x （A，Bは任意定数）となりました。
間違っているでしょうか？詳しい一般解の導き方を教えてください
(2)特殊解をどのようにおけばいいのか分かりません
　おき方と解法を教えていただきたいです

回答No.1

f272 · ベストアンサー

(1)
y=(C1x+C2)cos2x+(C1x+C2)sin2x （A，Bは任意定数）
と言われてもなあ。A，Ｂなど使われてないやん。

(D^4+8D^2+16) y = 0
(D^2+4)^2 y = 0
だから
2iと-2i(どちらも重根)が出てくるので
y=(C1x+C2)cos(2x)+(C3x+C4)sin(2x)
ただし、C1，C2，C3，C4は任意定数
だろう。

(2)
右辺がsin(x)だから，特殊解は
(D^4+8D^2+16) y = Im exp(ix)
から導ける。
y = Im (1/(D^4+8D^2+16)) exp(ix)
y = Im (1/(i^4+8i^2+16)) exp(ix)
y = Im (1/(1-8+16)) exp(ix)
y = (1/9)sin(x)
だな。

お礼

分かりやすいご回答ありがとうございました。
理解しながら解くことができました。