dy/dx (y+1)を積分して(y+1)^2?

質問

次の微分方程式の一般解を求めよ。
(1+y) (d^2y)/(dx^2) + (dy/dx)^2 = 0

dy/dx = p とおくと、
　　　　　(1+y)p (dp)/(dy) + p^2 = 0
となり、
　　　　　(i) (1+y) (dp)/(dy) + p = 0
　　　　　(ii) p = 0
の2通りが考えられる。
(i)の場合
　　　　　1/p (dp)/(dy) + 1/(1+y) = 0
の両辺をyで積分して
　　　　　log |p(y+1)| = C_1
つまり、
　　　　　dy/dx (y+1) = C_1
両辺をxで積分して、
　　　　　(y+1)^2 = C_1x + C_2　　　　　←？
という解を得る。

・・・と本に書いてあります。しかし、

「両辺をxで積分して」の計算は間違ってないですか？
自分が計算すると、
　　　　　dy/dx (y+1) = C_1
　　　　　∫ (y+1) dy/dx dx = C_1∫dx
　　　　　∫ (y+1) dy = C_1∫dx
　　　　　∫y dy + ∫1 dy = C_1∫dx
　　　　　y^2/2 + y = C_1x + C_2
になります。
積分して(y+1)^2になるなら、元々は2(y+1)じゃないといけないですよね、きっと。
ということで、どなたか検算をお願いします。

回答No.1

ereserve67 · ベストアンサー

>1/p (dp)/(dy) + 1/(1+y) = 0
>の両辺をyで積分して
>　　　　　log |p(y+1)| = C_1
>つまり、
>　　　　　dy/dx (y+1) = C_1
>両辺をxで積分して、
>　　　　　(y+1)^2 = C_1x + C_2　　　　　←？
>という解を得る。

上から3行目までは問題ありません．5行目はC_1の代わりに±e^{C_1}と書くべきです．それを改めてC_1とおいたのならそういうべきです．以下そうおいたとしましょう．
←？の式は左辺を(y+1)^2/2と書くべきです．以下そうしたとしましょう．すると，

(y+1)^2 = 2C_1x + 2C_2

となります．もしここで2C_1,2C_2をそれぞれC_1,C_2と改めておいたとしましょう．すると，

(y+1)^2 = C_1x + C_2

質問者様の計算では2C_1,2C_2+1をそれぞれ改めてC_1,C_2とおけば上の形になります．

このように，積分定数は使った記号を使いまわすことも多いのです．しかし，その説明を怠るのはよくないと思います．

お礼

ありがとうございます。

> ←？の式は左辺を(y+1)^2/2と書くべきです．

なるほど、1/2はC_1、C_2の藻屑と消えていったのですね。では、私の答えも合っていますね。
ありがとうございました！