微分積分について

質問

微分積分初心者です。

dy/dx=5という微分方程式があって、これの両辺をxで積分すると

∫dy/dx・dx=∫5dx
y=5x + C(Cは積分定数）というのはわかるのですが、

dxを右辺に持って行って、
dy=5dxとして両辺を積分する時は、左辺をyで積分、右辺をxで
積分ということになるのでしょうか？
こういうことは可能なのでしょうか？

また一階微分の時は右辺にdxを持っていくことができますが、
二階微分以上ではできないのはなぜでしょうか？

よろしくお願い致します。

回答No.1

info222_ · ベストアンサー

>dy=5dxとして両辺を積分する時は、左辺をyで積分、右辺をxで
>積分ということになるのでしょうか？
その通りです。

>こういうことは可能なのでしょうか？
可能です。

>また一階微分の時は右辺にdxを持っていくことができますが、
>二階微分以上ではできないのはなぜでしょうか？

一般的にはできません。
例えば
d^2y/dx^2=f(x)の場合
d^(y^2)=f(x)(dx)^2
∫d(y^2)=∫f(x)(dx)^2
と右辺の(dx)^2での積分は、積分の定義には存在しない（ありえない）からです。

2回に分けて2ステップで積分すれば可能です。
dy/dx=uとおけば
du/dx=f(x)
du=f(x)dx
∫du=∫f(x)dx=g(x)とおく。
u=dy/dx=g(x)
dy=g(x)dx
∫dy=∫g(x)dx
y=∫g(x)dx=∫{ [∫f(t)dt](t=x)}dx　←　任意定数が2つ出て　「c1x+c2の項が出てくる」

あるいは代わる解法として
特性方程式を使う方法や演算子s=d/dx=D を使う方法

を使えば二階微分方程式以上に対応できます。

お礼

非常に分かりやすい回答
ありがとうございました。