∫{(1/cosx)^4}dxの計算

質問

y' - ytanx = (y^4)secx
という微分方程式を解いています。
まずz = y^(-3)とおくと
dz/dx = {-3y^(-4)}y'
ここで『y' - ytanx = (y^4)secx』の両辺に{-3y^(-4)}をかけて
{-3y^(-4)}y' + (3tanx)y^(-3) = -3secx
z = y^(-3)、dz/dx = {-3y^(-4)}y'なので上式は
dz/dx + (tanx)z = -3secx　――――（＊）
となります。
dz/dx + (tanx)z = 0の微分方程式の解は
z = C(cosx)^3 （Cは積分定数）なので、（＊）式のzの解を
z = C(x)(cosx)^3とおいて（＊）の式に代入すると
C'(x) = 1/(cosx)^4
となります。
最後にC'(x)をxで積分してzを求め、yを求めたいのですが、
∫{(1/cosx)^4}dxが解けなくてこれ以上進めません。
この積分はどう解くのでしょうか？

回答No.1

endlessriver · ベストアンサー

まず、∫{(1/cosx)^2}dx=tanx(微分すれば明らか)

I=∫{(1/cosx)^2}{(1/cosx)^2}dx（部分積分する）
={(1/cosx)^2}tanx - 2∫{sinx/(cosx)^3}(tanx)dx
=sinx/(cosx)^3 - 2∫{(sinx)^2/(cosx)^4}dx
=sinx/(cosx)^3 - 2I + 2∫{1/(cosx)^2}dx
ゆえに
3I=sinx/(cosx)^3 +2tanx

お礼

回答ありがとうございます。
これで先に進めそうです。

回答No.2

take008

∫(1/cosx)^4dx
＝∫(1/cosx)^2(1/cosx)^2dx
＝∫(1+tan^2x)(tanx)'dx
＝tanx+1/3tan^3x+C

お礼

置換積分で解く方法は全く考え付きませんでした。
これで何とか先に進めそうです。
回答ありがとうございました。