数III 定積分

質問

ｘ
∫│cosx│dx
0

と言う問題で、

０≦x≦π/2のとき、│cosx│=cosx
π/2≦x≦πのとき、│cosx│=-cosx
であるから、

　　　　　　π/2　　　　x　
(与式)＝∫cosxdx+∫(-cosx)dx
　　　　　　 0 　　　　　π/2

　　　　　　　　　　　π/2　　　　π
　　　　　＝[　sinx　]ー[　sinx　]＝２
　　　　　　　　　　　0 　 π/2

----------------------------------------------

と、いう問題なのですが、

０≦x≦π/2のとき、│cosx│=cosx
π/2≦x≦πのとき、│cosx│=-cosx
であるから、

というところが全くわかりません；；
何故範囲を決めるのか、
何故
ｘ
∫│cosx│dx
0

という式が
　　　　　　π/2　　　　x　
(与式)＝∫cosxdx+∫(-cosx)dx
　　　　　　 0 　　　　　π/2

のように、xがπ/2になって、０がπ/2になったりするのでしょうか？；；

まったく意味がわかりません；
どなたか詳しく教えてください！；；

回答No.2

R_Earl · ベストアンサー

> 　ｘ
> ∫│cosx│dx
> 0
>
> と言う問題で、

定積分を求めよという問題でしょうか？
数式だけでは何を問われているのかが分からないのですが…。

また、式はこれであっていますか？
インテグラル記号の右上の数はxではなく、πではないでしょうか？

> ０≦x≦π/2のとき、│cosx│=cosx
> π/2≦x≦πのとき、│cosx│=-cosx
> であるから、
>
> というところが全くわかりません；；
> 何故範囲を決めるのか、

範囲を決めているわけではありません。
絶対値記号は扱いにくいので、
まずは与式から絶対値記号を外そうとしているんです。

|A|という式から絶対値記号を外す時、
Aが正の数の時は|A| = A、Aが負の数の時は|A| = -Aという感じに絶対値記号が外れます。
これと同じで|cosx|から絶対値記号を外す場合、
(1) cosxが正の数の時、|cosx| = cosxと絶対値記号が外れる
(2) cosxが負の数の時、|cosx| = -cosxと絶対値記号が外れる
となります。

ここで「cosxが正の数の時」、「cosxが負の数の時」というのがどんな時かを考えてみましょう。
cosxが正の数になるのは0 ≦ x ≦ π/2の時ですよね。
この事から(1)の文を書き換えると
(1)' cosxが正の数の時、つまり0 ≦ x ≦ π/2の時、|cosx| = cosxと絶対値記号が外れる
となります。
cosxが負の数の時も同様に考えてあげると良いです。

> ｘ
> ∫│cosx│dx
> 0
>
> という式が
> 　　　　　　π/2　　　　x　
> (与式)＝∫cosxdx+∫(-cosx)dx
> 　　　　　　 0 　　　　　π/2
>
> のように、xがπ/2になって、０がπ/2になったりするのでしょうか？；；

|cosx|はxの値によって、cosxになるか-cosxになるかが変わります。
なので積分する時も
(1) |cosx|の絶対値記号を外すとcosxになる場合
(2) |cosx|の絶対値記号を外すと-cosxになる場合
の2つの場合に分けて積分する必要があるんです。

回答No.1

Hyokko_Lin

問題文が∫[0,π] |cosx| dx (0からπまでの|cosx|の定積分)だとして回答します。

今回の問題の被積分関数である|cosx|は、絶対値がついているため、そのまま積分できません。
そこで、|cosx|の正負によって場合分けし、絶対値を外します。
一般に、
a≧0のとき、|a|=a (絶対値の中身が正のときは、そのまま絶対値を外せる)
a<0のとき、|a|=-a (絶対値の中身が負のときは、正負をひっくり返して絶対値を外す)
であるので、今回の場合は、
０≦x≦π/2のとき、│cosx│=cosx
π/2≦x≦πのとき、│cosx│=-cosx
となります。
問題の積分区間をこの2つに分ければ、被積分関数の絶対値が外れるため、積分できるようになります。
∫[0,π] |cosx| dx = ∫[0,π/2] cosx dx + ∫[π/2,π] -cosx dx
=[sinx][0,π/2]-[sinx][π/2,π]
=2