不定積分について

質問

解けない問題がありました。途中計算がどのようななっているのかが知りたいです。宜しくお願いします。

(1)∫(x+2/√x)dx

(2)∫(3-tan x)cos x dx

(3)∫(1/{tna^(2) (x)) }dx

(4)∫cos(7-3x/2)dx

(5) ∫1/{cos^(2) (7x+5) }dx

答え
(1)2/3 (x√x)+(4√x) +C
(2)3sinx+cosx+C
(3)-cotx-x+C
(4)-2/3 sin(7-3x/2)+C
(5)1/7 tan(7x+5)+C

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

(1)∫(x+2/√x)dx
=∫(x^(1/2)+2x^(-1/2))dx
=(2/3)x^(3/2)+4x^(1/2)+C
=(2/3)(x√x)+(4√x)+C

(2)∫(3-tan(x))cos(x) dx
=∫(3cos(x)-sin(x)) dx
=3sin(x)+cos(x)+C

(3)∫1/tan^2(x)dx=Iとおく。
tan(x)=yで変数変換すると
dy/dx=sec^2(x)=1+tan^2(x)=1+y^2
dx=dy/(1+y^2)　
1/tan^2(x)dx=(1/(y^2*(1+y^2)))dy={1/y^2-1/(1+y^2)}dy
なので
I=∫{1/y^2-1/(1+y^2)}dy=∫{y^(-2)-1/(1+y^2)}dy
=-y^(-1)-∫1/(1+y^2)}dy
tan(x)=yでxに戻すと
=-(1/tan(x))-∫dx
=-cot(x)-x+C

(4)∫cos(7-(3x/2))dx=Iとおく。
y=7-(3x/2)で変数変換すると　dy=-(3/2)dx
I=∫cos(y)(-2/3)dy
=(-2/3)∫cos(y)dy
=-(2/3)sin(y)＋C
y=7-(3x/2)を代入して
=-(2/3)sin(7-(3x/2))+C

もし I=∫cos((7-3x)/2)dx なら
y=(7-3x)/2で変数変換すると　dy=-(3/2)dx
I=∫cos(y)(-2/3)dy
=(-2/3)∫cos(y)dy
=-(2/3)sin(y)＋C
y=(7-3x)/2)を代入して
=-(2/3)sin((7-3x)/2)+C
となります。

(5) ∫1/{cos^2 (7x+5)}dx=Iとおく。
I=∫{1+tan^2 (7x+5)}dx
=x+∫tan^2 (7x+5)dx=x+I1 ...(★)とおく。
I1=∫tan^2 (7x+5)dx
y=7x+5と変数変換すると
　dy=7dx
　tan^2 (7x+5)dx=tan^2 (y)(1/7)dy
なので
I1=(1/7)∫tan^2 (y)dy
z=tan(y)と変数変換すると
　dz=sec^2(y)dy=(1+tan^2 (y))dy=(1+z^2)dy
　dy=dz/(1+z^2)
なので
I1=(1/7)∫z^2/(1+z^2)dz=(1/7)∫{1-1/(1+z^2)}dz
=(1/7)z-(1/7)∫1/(1+z^2) dz}
z=tan(y)を代入して
I1=(1/7)tan(y)-(1/7)∫dy=(1/7)tan(y)-(1/7)y+C
y=7x+5を代入して
I1=(1/7)tan(7x+5)-(1/7)(7x+5)+C
=(1/7)tan(7x+5)-x-(5/7)+C
積分定数 C-(5/7)を改めてCとおくと
I1=(1/7)tan(7x+5)-x+C
(★)に代入して
I=x+I1=(1/7)tan(7x+5)+C
となります。

お礼

幾度となく丁寧な解説にありがとうございます。詳細に解説されているので、とても分かりやすいです。誠に感謝いたします。ワタシ自身、数学を勉強し始めたのは、１か月前からで、学生時代より10年以上経過しているので、ほとんど酷い状態です。計算の基礎がド忘れしていることから、中学校の内容からの復習になりました。時間はかかりそうですが、基礎の方からもしっかり勉強していきたいと思います。